| Autor(es) | C. I. Lewis (1883–1964); Rudolf Carnap (1891–1970); Ruth Barcan Marcus (1921–2012); Saul Kripke (1940–2022) |
| Fecha / periodo | 1912–1963 · Siglo XX · Estados Unidos y Europa |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Characteristica universalis y calculus ratiocinator (n.º 50) · Lógica intuicionista · Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Derivan de ella | Lógicas paraconsistentes · Lógica deóntica · Lógica relevante · Lógica temporal · Lógica epistémica · Lógica conexiva · Lógica condicional · Lógica de Hoare y lógica dinámica · Semántica de Montague · Lógica de la demostrabilidad · Lógicas descriptivas · Lógicas no monótonas · Lógica de la justificación |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(A \to A\); en los sistemas normales también \(\Box(A \to A)\)) · No contradicción: ✓ (y necesaria: \(\Box\neg(A \land \neg A)\)) · Tercio excluso: ✓ (\(\Box(A \lor \neg A)\) es teorema, pero no \(\Box A \lor \Box\neg A\)) |
La lógica modal moderna nace de una insatisfacción con la implicación material. En Principia, \(p \supset q\) es verdadera siempre que \(p\) sea falsa o \(q\) verdadera. De ahí las «paradojas» de que una proposición falsa implique cualquier otra y una verdadera sea implicada por cualquiera. C. I. Lewis («Implication and the Algebra of Logic», 1912) sostuvo que eso no es lo que significa «se sigue de», y propuso una implicación estricta: \(p\) implica estrictamente \(q\) si es imposible que \(p\) sea verdadera y \(q\) falsa. Para ello hacía falta un operador de posibilidad. El gesto distintivo del campo, en su forma madura, es otro: interpretar la necesidad como verdad en todos los mundos posibles accesibles. Esa semántica convierte una colección dispersa de sistemas en una familia ordenada, y la misma técnica sirve después para el tiempo, el conocimiento, la obligación o la demostrabilidad.
Implicación estricta (Lewis, 1918; Lewis y Langford, 1932). Con \(\Diamond\) primitivo, \(p \prec q\) (el anzuelo de Lewis) se define como \(\neg\Diamond(p \land \neg q)\), y \(\Box p\) como \(\neg\Diamond\neg p\). Symbolic Logic (1932) presenta cinco sistemas de fuerza creciente, S1–S5. En S5, por ejemplo, las modalidades iteradas se reducen: \(\Diamond\Box p \leftrightarrow \Box p\). La implicación estricta evita las paradojas materiales, pero genera otras: una proposición imposible implica estrictamente cualquiera, y una necesaria es implicada por cualquiera.
Sistemas normales (formulación estándar posterior). La lógica K contiene:
Sobre K se añaden esquemas característicos:
Así, \(\mathrm{T} = \mathrm{K} + \mathrm{T}\), \(\mathrm{S4} = \mathrm{T} + 4\) y \(\mathrm{S5} = \mathrm{T} + 5\). Gödel (1933) formuló S4 con un operador de demostrabilidad \(B\) y mostró que la traducción que antepone \(B\) a cada subfórmula incrusta la lógica intuicionista en ella.
Lógica modal cuantificada. Ruth Barcan (1946) dio el primer cálculo cuantificado basado en la implicación estricta. En él figura la fórmula de Barcan, \(\Diamond\exists x\, A \to \exists x\, \Diamond A\), equivalente a \(\forall x\, \Box A \to \Box\forall x\, A\). En 1947 probó la necesidad de la identidad, \(x = y \to \Box(x = y)\). Carnap (1946; Meaning and Necessity, 1947) dio una semántica con «descripciones de estado», conjuntos máximos coherentes de enunciados atómicos y sus negaciones. Las presentó como los mundos posibles de Leibniz y definió la necesidad lógica como verdad en todas ellas, lo que valida S5.
Semántica de Kripke (1959, 1963). Un marco es un par \(\langle W, R \rangle\), con un conjunto de mundos \(W\) y una relación de accesibilidad \(R\). Un modelo añade una valoración. Las cláusulas modales son:
Los esquemas corresponden a propiedades de \(R\): D a la serialidad, T a la reflexividad, 4 a la transitividad, B a la simetría y 5 a la euclidianidad. Kripke probó la completitud de K, T, S4, B y S5 respecto de sus clases de marcos. S5 corresponde a relaciones de equivalencia o, de forma equivalente, a la accesibilidad universal. En el caso cuantificado permitió dominios variables por mundo, de modo que la fórmula de Barcan vale solo si los dominios no crecen a lo largo de la accesibilidad. Kanger, Hintikka y Prior llegaron por su cuenta, hacia 1957, a ideas semánticas parecidas. McKinsey y Tarski (1944) y Jónsson y Tarski (1951) habían dado ya semánticas algebraicas y topológicas.
Ejemplo. Sea \(W = \{w, v\}\), con \(wRw\), \(wRv\) y \(vRv\), y \(p\) verdadera solo en \(w\). Entonces en \(w\) vale \(p\), pero no \(\Box p\): \(v\) es accesible y en él \(p\) es falsa. \(R\) es reflexiva y transitiva, luego el modelo es de S4. Pero no es simétrica ni euclídea: en \(v\) vale \(\Box\neg p\), así que en \(w\) vale \(\Diamond\Box\neg p\) sin que valga \(\Box\neg p\). Por eso falla allí la ley de S5.
Metateoría. Los sistemas K, T, S4 y S5 son decidibles y tienen la propiedad del modelo finito. La satisfacibilidad es PSPACE-completa para K, T y S4 (Ladner, 1977) y NP-completa para S5. La lógica modal de primer orden, en cambio, es indecidible.
La lógica modal recibe tres impulsos. Lewis reacciona explícitamente contra la implicación material de Russell y Whitehead. Gödel (1933), al traducir la lógica intuicionista, aísla S4 y da a la necesidad una lectura de demostrabilidad. Carnap presenta sus descripciones de estado como los mundos posibles de Leibniz y retoma así una idea de la Teodicea y de los escritos lógicos leibnizianos. Como afinidades, no herencias, se han señalado el condicional diodoreo, precursor de la implicación estricta, y la modalidad sincrónica de Escoto, que Knuuttila y la escuela de Utrecht leen como semántica de mundos posibles avant la lettre.
Su descendencia es la más numerosa del catálogo, porque la semántica de Kripke es una técnica general. Von Wright construye la lógica deóntica por analogía con las modalidades aléticas. Prior formaliza los tiempos como operadores modales normales. Hintikka aplica mundos posibles al saber y la creencia. Stalnaker y Lewis añaden un orden de semejanza entre mundos para los condicionales. Pratt interpreta el cálculo de Hoare en una lógica modal dinámica. Montague usa mundos para las intensiones. La lógica de la demostrabilidad es una lógica modal normal. Las lógicas descriptivas importan sus técnicas tras la correspondencia de Schild. McDermott, Doyle y Moore usan operadores modales para la no monotonía. La lógica de la justificación es la versión explícita de S4. Hay también herencias por reacción. Ackermann, Anderson y Belnap corrigen la implicación estricta y sus paradojas en la lógica relevante. Nelson (1930) reacciona contra ella en la conexiva. Jaśkowski define su lógica discusiva por traducción a S5.
Durante los años cuarenta y cincuenta la lógica modal fue sospechosa. Quine la acusó de confundir uso y mención y de comprometerse con un «esencialismo aristotélico». La semántica de Kripke respondió al problema técnico y abrió la metafísica modal de Naming and Necessity (1970, publicado en 1980). Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», la lógica modal es ambigua. Por un lado, es una extensión conservadora de la clásica: añade operadores, no cambia las conectivas. Por otro, no hay una sola lógica modal, sino un retículo de sistemas, y la elección entre S4 y S5 depende de qué noción de necesidad se quiera capturar. Es la forma más clara de pluralismo por aplicación: una técnica común y muchas lógicas según el dominio.