| Autor(es) | Bertrand Russell (1872–1970); Alfred North Whitehead (1861–1947) |
| Fecha / periodo | 1901–1913 · Siglo XX · Gran Bretaña |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Begriffsschrift y logicismo · Lógica matemática de Peano |
| Derivan de ella | Lógica modal · Sistemas de Leśniewski · Lógica de primer orden clásica · Lógicas polivalentes · Lógica del Tractatus · Formalismo y programa de Hilbert · Lógica combinatoria · Cálculo lambda · Lógica de orden superior y teoría simple de tipos · Lógica deóntica |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (*2.08 \(\vdash p \supset p\); *13.15 \(\vdash x = x\), con la identidad definida por indiscernibilidad) · No contradicción: ✓ (*3.24 \(\vdash \sim(p \cdot \sim p)\)) · Tercio excluso: ✓ (*2.11 \(\vdash p \lor \sim p\)) |
En mayo o junio de 1901 Russell advirtió que la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas se pertenece a sí misma si y solo si no se pertenece. Como la lógica de Frege permitía formar esa clase, el programa logicista, derivar la matemática de la lógica pura, quedaba comprometido en su raíz. Principia Mathematica es el intento de salvar ese programa con una lógica que bloquee las paradojas sin renunciar a la aritmética ni al análisis. Su gesto distintivo es la teoría de tipos: las entidades y las expresiones se ordenan en una jerarquía, y lo que se dice de una totalidad no puede ser miembro de ella. Añade una política de eliminación de entidades problemáticas mediante definiciones contextuales, de las que las descripciones y las clases son los ejemplos centrales.
Cálculo proposicional (*1). Las ideas primitivas son la negación (\(\sim p\)), la disyunción (\(p \lor q\)) y el signo de aserción (\(\vdash\)). La implicación se define: *1.01 \(p \supset q \;=\; \sim p \lor q\) Df. Las proposiciones primitivas son:
Bernays (1926) mostró que *1.5 se deriva de las demás. La sustitución uniforme se usa pero no se enuncia como regla, laguna señalada después. Entre los teoremas: *2.11 \(\vdash p \lor \sim p\), *3.24 \(\vdash \sim(p \cdot \sim p)\), *4.13 \(\vdash p \equiv \sim\sim p\). La notación de puntos para agrupar procede de Peano.
Cuantificación y funciones proposicionales (*9–*12). Una función proposicional \(\phi\hat{x}\) es lo que resulta de una proposición al dejar indeterminado un constituyente. «\((x).\phi x\)» expresa que \(\phi x\) vale para todo \(x\) y «\((\exists x).\phi x\)» que vale para alguno.
Teoría ramificada de tipos (Russell, 1908; PM *12). Se rige por el principio del círculo vicioso: «lo que implica la totalidad de una colección no debe ser un miembro de la colección». Las funciones se distinguen por dos criterios:
Así, «tiene todas las cualidades de un gran general» no es una cualidad del mismo orden que las cualidades a las que se refiere. Esto bloquea la paradoja de Russell y también las semánticas, como la del mentiroso.
Axioma de reducibilidad (*12.1). \(\vdash (\exists f)\,.\,\phi x \equiv_x f!x\): toda función es coextensiva con alguna predicativa. Sin él no pueden probarse, por ejemplo, el principio del supremo en el análisis ni la inducción completa en su forma general. Pero su carácter lógico es dudoso, y el propio Russell lo reconocía.
Identidad (*13). Definida por indiscernibilidad: *13.01 \(x = y \;=\; (\phi)\,.\,\phi!x \supset \phi!y\) Df. De ahí *13.15 \(\vdash x = x\).
Descripciones (*14). Siguiendo «On Denoting» (1905), «el \(F\) es \(G\)» se analiza como \((\exists x)\,.\,(y)\,(Fy \equiv y = x)\,.\,Gx\). «El actual rey de Francia es calvo» resulta falso, y su negación es ambigua según el alcance de la descripción. Las descripciones no son nombres; se eliminan en contexto.
Clases sin clases (*20). Un enunciado sobre la clase \(\hat{z}(\phi z)\) se define como un enunciado sobre alguna función predicativa coextensiva con \(\phi\). Las clases son «ficciones lógicas».
Hipótesis no lógicas. El axioma de infinitud (que haya infinitos individuos) y el multiplicativo (el de elección) no se asumen como axiomas, sino que figuran como antecedentes explícitos de los teoremas que los necesitan. Es una concesión tácita de que no son verdades lógicas.
Resultados. Los tres volúmenes desarrollan la teoría de clases y relaciones, los cardinales, los ordinales, las series y los reales. La proposición *54.43, de la que se sigue que \(1 + 1 = 2\), lleva el comentario «la proposición anterior es ocasionalmente útil». No hay en la obra resultados metateóricos: la completitud del fragmento proposicional la probará Post (1921), y Gödel (1931) mostrará que PM y sistemas afines, si son consistentes, son incompletos.
Principia recibe el logicismo de Frege: Russell adopta su proyecto, su lógica de funciones y su análisis de la cuantificación, y construye los tipos para evitar la paradoja que él mismo había hallado en el sistema de los Grundgesetze. De Peano toma la notación y el método: tras conocerlo en el congreso de París de 1900, Russell adoptó su simbolismo, sus puntos, su \(\supset\), su \(\epsilon\) y la distinción entre pertenencia e inclusión.
Fue el sistema de referencia de la lógica de entreguerras, y su descendencia se mide por esa centralidad. Las lecciones de Hilbert de 1917–1918 parten de él, y su programa formalista toma su formalización, no su reducción logicista. Post (1921) estudió su cálculo proposicional con tablas y abrió el camino a las lógicas polivalentes. Lewis reaccionó contra su implicación material y propuso la estricta. Mally añadió a su cálculo proposicional axiomas deónticos. Wittgenstein lo discutió y rechazó su teoría de tipos y su concepción de las constantes lógicas. Leśniewski construyó su Mereología como alternativa a su teoría de clases. Chwistek y Ramsey simplificaron los tipos ramificados en la teoría simple. Curry partió de la regla de sustitución, que Principia usa sin formularla con precisión, para la lógica combinatoria. Church buscó un fundamento más natural que los tipos russellianos, y la \(\lambda\) procede del «\(\hat{x}\)» de la obra.
Principia es el monumento del logicismo y a la vez el testimonio de sus dificultades. Ramsey (1925) mostró que las paradojas lógicas y las semánticas pueden separarse, y que para las primeras basta la teoría simple de tipos, sin órdenes ni reducibilidad. Wittgenstein objetó que infinitud y reducibilidad no son tautologías. Gödel usó su sistema como paradigma de la incompletitud. La segunda edición (1925–1927) intentó, siguiendo sugerencias de Wittgenstein, prescindir de la reducibilidad con un principio de extensionalidad, con resultados parciales. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», Principia ilustra el precio de la universalidad. Una lógica que pretende abarcar toda la matemática necesita axiomas cuya naturaleza lógica es discutible. Además, la jerarquía de tipos fragmenta el discurso en niveles, lo que ya sugiere que «la» lógica puede no hablar de todo a la vez.