100. Lógica conexiva

Idea central

Las lógicas conexivas quieren capturar una intuición sobre el condicional: «si \(A\), entonces \(B\)» expresa una conexión entre antecedente y consecuente, de modo que una proposición no puede implicar su propia negación ni implicar a la vez algo y su contrario. Esa intuición se formula en dos principios que la lógica clásica rechaza: la tesis de Aristóteles y la tesis de Boecio. Everett J. Nelson («Intensional relations», 1930) propuso el primer sistema moderno, como alternativa a la implicación estricta de C. I. Lewis. Richard Angell (1962) dio una matriz finita que valida esos principios, y Storrs McCall acuñó el nombre y axiomatizó el sistema CC1 en «Connexive implication» (1966). Su rasgo distintivo es que son contraclásicas: no son subsistemas de la lógica clásica, porque contienen teoremas que esta refuta.

Principios, axiomas y reglas de inferencia

Principios conexivos. Se escriben con \(\to\) para el condicional conexivo:

• Tesis de Aristóteles: \(\neg(\neg A \to A)\) y \(\neg(A \to \neg A)\).
• Tesis de Boecio: \((A \to B) \to \neg(A \to \neg B)\) y \((A \to \neg B) \to \neg(A \to B)\).
• Tesis de Abelardo (así la llama McCall): \(\neg((A \to B) \land (A \to \neg B))\).
• Suele exigirse además que el condicional no sea simétrico: \((A \to B) \to (B \to A)\) no debe ser teorema.

Ninguna de estas fórmulas es tautología clásica si se lee \(\to\) como implicación material. Por ejemplo, \(\neg(A \to \neg A)\) es falsa cuando \(A\) es falsa, porque \(A \to \neg A\) es entonces verdadera. De ahí la contraclasicidad: si se añade la tesis de Aristóteles a la lógica clásica con condicional material, el sistema se trivializa.

Fuentes antiguas. La tesis de Aristóteles procede de Analíticos primeros II 4, 57b3–14: es imposible que, si \(A\) es y si \(A\) no es, \(B\) sea necesariamente. La de Boecio, de De hypotheticis syllogismis, donde trata «si \(A\) entonces \(B\)» y «si \(A\) entonces no \(B\)» como incompatibles.

Sistemas.

• Nelson (1930). Toma como primitiva una relación intensional de consistencia entre proposiciones y entiende la implicación como una conexión de contenido: \(A\) implica \(B\) cuando \(A\) es inconsistente con \(\neg B\), y ninguna proposición es inconsistente consigo misma. Así pretende evitar las paradojas de la implicación estricta, como que lo imposible implique cualquier cosa.
• Angell (1962), PA1. Matriz de cuatro valores, dos designados, en la que \(\land\) y \(\neg\) se comportan como en un álgebra de Boole de cuatro elementos y \(\to\) tiene una tabla propia que valida las tesis conexivas.
• McCall (1966), CC1. Axiomatiza la matriz de Angell. Contiene los principios conexivos, modus ponens y adjunción, y un condicional que no admite la simplificación (\((A \land B) \to A\) no es teorema de CC1).
• Wansing (2005), C. Construido sobre la lógica N4 de Nelson (negación fuerte constructiva). Cambia solo la condición de falsedad del condicional: \(A \to B\) es falsa si y solo si \(A \to \neg B\) es verdadera. Axiomáticamente, N4 más \(\neg(A \to B) \leftrightarrow (A \to \neg B)\). C valida las tesis de Aristóteles y Boecio, es decidible y es paraconsistente: contiene fórmulas y sus negaciones sin ser trivial.

Qué se pierde y qué se gana. Se pierde, según el sistema, la simplificación, la contraposición o la transitividad irrestricta, y en algunos casos la consistencia en sentido clásico (C tiene teoremas contradictorios). Se gana un condicional que no tiene las paradojas de la implicación material ni de la estricta.

Ejemplo. «Si llueve, entonces no llueve» es verdadera clásicamente cuando no llueve. Para la lógica conexiva es falsa siempre: ninguna proposición conecta con su negación. Del mismo modo, «si el número es par, es divisible por 2» y «si el número es par, no es divisible por 2» no pueden ser verdaderas a la vez, lo que en la lógica clásica sí ocurre cuando el antecedente es falso.

Genealogía

Las dos tesis que definen la familia proceden de la silogística aristotélica (Analíticos primeros II 4) y de la tradición latina tardoantigua (el De hypotheticis syllogismis de Boecio). El sistema de Nelson es una reacción contra la implicación estricta de Lewis, el punto de partida de la lógica modal moderna, que no evitaba las paradojas de la implicación (Mares y Paoli, 2019). Ya en el siglo XXI, el sistema C de Wansing (2005) se construye sobre N4, la lógica constructiva con negación fuerte, lo que convierte la conexividad en un cambio mínimo de una condición de falsedad.

Se le atribuyen dos lecturas históricas. McCall (1966) leyó el condicional por conexión (synártēsis) de Crisipo como condicional conexivo, lectura moderna y discutida. Y Martin lee como conexiva la teoría del condicional de Abelardo, a quien McCall atribuye el principio \(\neg((A \to B) \land (A \to \neg B))\).

Contexto y relevancia

La lógica conexiva fue durante décadas una curiosidad marginal, a la sombra de la lógica de la relevancia, que atacaba las mismas paradojas por otra vía. Desde los años 2000 ha vuelto a interesar, por los trabajos de Wansing y por estudios empíricos que muestran que muchos hablantes juzgan falsas las fórmulas que la tesis de Aristóteles niega. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», es un caso extremo: no restringe la lógica clásica, la contradice. Si ambas son lógicas legítimas del condicional, el pluralismo no puede limitarse a elegir subsistemas de la lógica clásica.

Fuentes

• Nelson, E. J. «Intensional relations». Mind 39 (1930): 440–453.
• McCall, S. «Connexive implication». Journal of Symbolic Logic 31 (1966): 415–433.
• McCall, S. «A history of connexivity». En D. Gabbay, F. J. Pelletier y J. Woods (eds.), Handbook of the History of Logic, vol. 11. Ámsterdam: North-Holland, 2012.
• Wansing, H. «Connexive Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy.

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