| Autor(es) | Iván E. Orlov (1886–1936); Wilhelm Ackermann (1896–1962); Alan Ross Anderson (1925–1973); Nuel D. Belnap (1930–2024) |
| Fecha / periodo | 1928–1992 · Siglo XX · Estados Unidos y Europa |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica modal |
| Derivan de ella | Lógicas subestructurales y cálculo de Lambek · FDE, lógica de cuatro valores de Belnap y Dunn · LP y dialeteísmo · Lógica de la separación y lógica BI |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(A \to A\) es axioma) · No contradicción: ✓ (\(\neg(A \land \neg A)\) es teorema de R y E, pero \(A \land \neg A \to B\) no) · Tercio excluso: ✓ (\(A \lor \neg A\) es teorema, pero \(B \to (A \lor \neg A)\) no) |
La lógica relevante quiere que «\(A\) implica \(B\)» signifique que \(A\) es pertinente para \(B\): que hay una conexión de contenido y que \(B\) se obtiene usando realmente \(A\). La implicación material de la lógica clásica no lo exige, y tampoco la implicación estricta de C. I. Lewis. Ambas validan las llamadas paradojas de la implicación: lo verdadero es implicado por cualquier cosa, lo falso implica cualquier cosa, lo imposible implica cualquier cosa, lo necesario es implicado por cualquier cosa. El gesto distintivo es exigir que las premisas se usen en la derivación, y probar que, en consecuencia, antecedente y consecuente de toda implicación válida comparten contenido proposicional. La lógica relevante es paraconsistente: una contradicción no implica todo.
Paradojas que se evitan. Ninguna de estas fórmulas es teorema:
Sistema R (implicación relevante; Anderson y Belnap, Entailment, vol. 1, 1975). Axiomas:
Reglas: modus ponens y adjunción (de \(A\) y \(B\), inferir \(A \land B\)). La negación es de De Morgan; \(A \lor \neg A\) y \(\neg(A \land \neg A)\) son teoremas.
Sistema E (entailment). Pretende capturar a la vez relevancia y necesidad. Se obtiene de R restringiendo la permutación, de modo que solo se puedan permutar implicaciones; así no se deriva \(A \to ((A \to B) \to B)\) para \(A\) arbitrario. Su antecedente es la «implicación rigurosa» de Ackermann (1956), cuyo sistema \(\Pi'\) tenía una regla (γ) que Anderson y Belnap suprimen.
Compartición de variables (Belnap, 1960). Si \(A \to B\) es teorema de R o E, entonces \(A\) y \(B\) tienen al menos una variable proposicional en común. Es una condición necesaria de relevancia, no suficiente.
Silogismo disyuntivo. En R y E no es válido como implicación: \(((A \lor B) \land \neg A) \to B\) no es teorema. La regla γ (de \(A \lor B\) y \(\neg A\), inferir \(B\)) es admisible en los teoremas de R y E (Meyer y Dunn, 1969), pero no es una inferencia relevante válida. Es la pérdida más discutida: sin ella, el argumento de C. I. Lewis que deriva la explosión queda bloqueado.
Semántica de Routley y Meyer (1972–1973). Estructuras con un conjunto de situaciones, una situación base \(0\), una relación ternaria \(R\) y una operación \(*\) (estrella de Routley):
Las situaciones pueden ser inconsistentes (verificar \(A\) y \(\neg A\)) o incompletas. Las propiedades de \(R\) determinan el sistema: E, R, T, B y otros. R y E son correctos y completos respecto de sus clases de modelos.
Decidibilidad. Urquhart (1984) probó que R, E y T son indecidibles. El fragmento implicativo de R y el de E son decidibles.
Lectura subestructural. En cálculo de secuentes, el fragmento implicativo de R es el de la lógica intuicionista sin la regla de debilitamiento: cada premisa debe usarse, pero puede usarse más de una vez (contracción).
Ejemplo. \(p \to (q \to q)\) es teorema clásico, pero en R falla la compartición: \(p\) no tiene nada que ver con \(q \to q\). En cambio \((p \land q) \to p\) es teorema de R: el antecedente contiene al consecuente.
La lógica relevante nace como corrección de la lógica modal de Lewis. Lewis había propuesto la implicación estricta para evitar las paradojas de la material, pero la estricta tenía las suyas. Ackermann (1956) diseñó una implicación rigurosa sin ellas; Anderson y Belnap la reelaboraron desde 1958 en los sistemas E y R. Orlov había axiomatizado un fragmento de R en 1928, en Moscú, pero su trabajo quedó ignorado hasta que Došen (1992) lo dio a conocer; no pertenece a la línea de transmisión efectiva.
La lógica relevante es la fuente de varias familias posteriores. FDE es su fragmento de primer grado: las implicaciones \(A \to B\) válidas con \(A\) y \(B\) sin implicaciones. Las lógicas subestructurales la reinterpretaron como lógica sin debilitamiento. Routley, coautor con Priest del dialeteísmo, llegó a él desde la semántica de mundos inconsistentes de la lógica relevante. La lógica BI de O’Hearn y Pym toma los contextos agrupados (bunches) de la teoría de la prueba relevante. Las afinidades son lecturas: Bobzien (2019) atribuye a la lógica estoica un rechazo deliberado del debilitamiento; los criterios medievales de contención se han comparado con la relevancia; la lógica lineal restringe también reglas estructurales, y Avron (1988) estudió su relación con las relevantes.
La lógica relevante fue el primer desafío sistemático a la lógica clásica desde dentro de la tradición analítica. Se desarrolló en Pittsburgh y en Australia (Canberra, Melbourne), y dio lugar a una polémica duradera sobre el silogismo disyuntivo. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», es un caso central. Sus defensores sostienen que la lógica clásica es incorrecta como teoría de la implicación; sus críticos, que la relevancia es una exigencia pragmática, no lógica. El pluralismo de Beall y Restall intenta conciliarlas: la consecuencia relevante y la clásica serían dos precisiones legítimas de una misma noción, según se cuantifique sobre situaciones o sobre mundos completos.