| Autor(es) | David Hilbert (1862–1943); Wilhelm Ackermann (1896–1962); Leopold Löwenheim (1878–1957); Thoralf Skolem (1887–1963); Kurt Gödel (1906–1978) |
| Fecha / periodo | 1915–1930 · Siglo XX · Alemania, Noruega y Austria |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Álgebra de la lógica · Lógica de Peirce · Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Derivan de ella | Formalismo y programa de Hilbert · Deducción natural y cálculo de secuentes · Lógica libre · Lógica dialógica y semántica de juegos · Lógica de Hoare y lógica dinámica · Programación lógica y principio de resolución · Lógica de la demostrabilidad · Lógicas descriptivas · Lógicas no monótonas · Lógicas adaptativas · Lógica IF |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(A \to A\); con igualdad, \(\forall x\,(x = x)\)) · No contradicción: ✓ (\(\neg(A \land \neg A)\) es teorema) · Tercio excluso: ✓ (\(A \lor \neg A\) es teorema; semántica bivalente sobre dominios no vacíos) |
Frege y Principia cuantifican sobre individuos, funciones, funciones de funciones, sin separar niveles como sistemas distintos. La lógica de primer orden es el resultado de aislar dentro de ese marco el fragmento en que las variables ligadas recorren solo individuos, y de tratarlo como una lógica por derecho propio. No fue la invención de un autor, sino un proceso de unos quince años: Löwenheim y Skolem probaron resultados que solo valen para ese fragmento, Hilbert y Bernays lo axiomatizaron por separado, y Gödel probó que su cálculo captura exactamente la validez. Su gesto distintivo es un equilibrio: tiene suficiente fuerza expresiva para formular casi toda la matemática, vía la teoría de conjuntos, y una metateoría excepcionalmente buena, con completitud, compacidad y un procedimiento de prueba efectivo.
Lenguaje. Variables individuales, constantes, símbolos de función y de relación (entre ellos, opcionalmente, la igualdad), conectivas \(\neg, \land, \lor, \to\) y cuantificadores \(\forall x\), \(\exists x\) que solo ligan variables individuales.
Cálculo de Hilbert y Ackermann (Grundzüge der theoretischen Logik, 1928). Para el «cálculo funcional restringido» los axiomas son:
Los cuatro primeros son los de Principia sin el redundante de asociación. Las reglas son:
Con igualdad se añaden \(x = x\) y \(x = y \to (A(x) \to A(y))\).
Semántica. Una estructura \(\mathcal{M}\) consta de un dominio no vacío \(D\) y de interpretaciones de las constantes, funciones y relaciones. Una asignación \(s\) da valores en \(D\) a las variables. La satisfacción se define por recursión, con las cláusulas decisivas:
\(A\) es válida si se satisface en toda estructura con toda asignación, y \(\Gamma \vDash A\) si toda estructura que satisface \(\Gamma\) satisface \(A\). La definición explícita se debe a Tarski (1933; con Vaught, 1957). Antes, Löwenheim, Skolem y Gödel usaron una noción de satisfacción en dominios informal pero ya precisa.
Teoremas fundamentales.
Qué se gana y qué se pierde. Se gana un concepto de consecuencia que coincide exactamente con la derivabilidad. Se pierde la categoricidad: ninguna teoría de primer orden con modelos infinitos caracteriza su modelo salvo isomorfismo. La aritmética de Peano de primer orden tiene modelos no estándar, y no pueden definirse nociones como «finito», «numerable» o «bien ordenado». Por ejemplo, añadir a la aritmética una constante \(c\) con los axiomas \(c > 0\), \(c > 1\), \(c > 2\)… da un conjunto finitamente satisfacible. Por compacidad tiene un modelo, en el que \(c\) es un número «infinito».
La lógica de primer orden recibe tres líneas. La cuantificación de Peirce, difundida por las Vorlesungen de Schröder, es la que usan Löwenheim y Skolem, que trabajan en la notación \(\Sigma/\Pi\). Löwenheim formula su teorema dentro del cálculo de relativos de Schröder, es decir, dentro del álgebra de la lógica. Y las lecciones de Hilbert de 1917–1918, preparadas con Bernays, parten del sistema de Principia para separar el fragmento de primer orden y plantear su completitud.
Desde los años treinta es la lógica clásica de referencia, y casi todas las lógicas posteriores se definen respecto de ella. El programa de Hilbert se formula sobre sus cálculos, y Gentzen trabaja dentro de ese programa. La lógica libre corrige su supuesto de que todo término denota en un dominio no vacío. Hintikka lee las funciones de Skolem como estrategias ganadoras, y la lógica IF extiende su sintaxis con cuantificadores independientes. La programación lógica parte de la forma clausal, la skolemización y el teorema de Herbrand. Las aserciones de Hoare se escriben en lenguajes de primer orden. La lógica de la demostrabilidad interpreta \(\Box\) con el predicado de demostrabilidad de la aritmética de primer orden. Las lógicas descriptivas son fragmentos decidibles suyos. La lógica por defecto y la circunscripción la extienden con reglas o esquemas, y las lógicas adaptativas la usan como límite superior. Como afinidades, Parsons ha reconstruido la teoría medieval de la suposición como un sistema comparable, y Matilal y Staal han analizado con cuantificadores la vyāpti navya-nyāya, lecturas modernas, no transmisiones.
La hegemonía de la lógica de primer orden no fue inmediata. Hilbert, Zermelo y otros siguieron prefiriendo la de segundo orden, más expresiva y categórica. Solo tras Skolem, Gödel y la consolidación de la teoría de modelos se impuso la idea de que la lógica «es» de primer orden, defendida por Quine con el argumento de que la de segundo orden es «teoría de conjuntos disfrazada». Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», es el punto de comparación obligado. Para los monistas clásicos es la lógica sin más. El teorema de Lindström da a esa pretensión una justificación técnica: es la lógica más fuerte con ciertas buenas propiedades. Pero la misma historia muestra que su primacía fue una elección entre alternativas, pagada con la pérdida de la categoricidad.