| Autor(es) | George Boole (1815–1864); Augustus De Morgan (1806–1871); William Stanley Jevons (1835–1882); Ernst Schröder (1841–1902) |
| Fecha / periodo | 1847–1905 · Siglo XIX · Gran Bretaña y Alemania |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Silogística categórica o asertórica de Aristóteles · Cuantificación del predicado (n.º 56) |
| Derivan de ella | Lógica de Peirce · Lógica matemática de Peano · Lógica de primer orden clásica · Lógica inductiva y probabilidad lógica · Lógica cuántica |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (Jevons la enuncia como ley, \(A = A\)) · No contradicción: ✓ (Boole la deriva de la ley de índices: \(x(1-x) = 0\)) · Tercio excluso: ✓ (\(x + (1-x) = 1\); en Jevons, ley de dualidad \(A = AB + Ab\)) |
El álgebra de la lógica nace de una observación de Boole: las operaciones con clases obedecen leyes semejantes a las del álgebra de números, con una diferencia decisiva. Si \(x\) es la clase de los hombres, seleccionar los hombres de entre los hombres da de nuevo los hombres: \(xx = x\). El gesto distintivo es tratar el razonamiento como cálculo: traducir las premisas a ecuaciones, operar con ellas según reglas algebraicas y reinterpretar el resultado como conclusión. La silogística pasa a ser un caso particular de un método general de eliminación. Con ello la lógica se convierte en una rama de la matemática en cuanto a su método, aunque Boole la entiende todavía como estudio de las «leyes del pensamiento». La tradición que sigue (De Morgan, Jevons, Peirce, Schröder) amplía el cálculo, corrige sus operaciones y lo extiende a las relaciones.
Boole: símbolos electivos (The Mathematical Analysis of Logic, 1847; An Investigation of the Laws of Thought, 1854). Las letras \(x, y, z\) representan clases, o el acto mental de seleccionarlas. \(1\) es el universo del discurso y \(0\) la clase vacía. Operaciones:
Leyes: \(xy = yx\); \(x(y + z) = xy + xz\); y la ley de índices, \(x^2 = x\). De ella deriva Boole el principio de contradicción: \(x - x^2 = 0\), es decir, \(x(1 - x) = 0\): nada es a la vez \(x\) y no \(x\) (Laws of Thought, cap. III).
Proposiciones. «Todo \(X\) es \(Y\)»: \(x(1 - y) = 0\), o bien \(x = vy\), con \(v\) una clase indefinida. «Ningún \(X\) es \(Y\)»: \(xy = 0\). «Algún \(X\) es \(Y\)»: \(vx = vy\), con \(v\) que selecciona una parte no vacía. Las proposiciones secundarias (sobre proposiciones) se interpretan en 1854 como porciones de tiempo en que una proposición es verdadera.
Métodos.
Boole admite pasos intermedios sin interpretación lógica (como \(x + x\) no disjunta), siempre que el resultado final la tenga. Hailperin mostró que el sistema de Boole es coherente como álgebra de números con elementos idempotentes, pero no es exactamente lo que hoy llamamos álgebra de Boole.
De Morgan (Formal Logic, 1847, y la serie «On the Syllogism», 1846–1862). Introduce el universo del discurso y los términos contrarios (\(X\) y no \(X\) relativos a ese universo), formula las leyes que llevan su nombre (\(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B\); \(\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\)) y amplía la silogística con la cuantificación del predicado, lo que le enfrentó a Hamilton. En 1860 («On the Syllogism IV») inicia la lógica de relaciones: composición de relaciones («amante de un servidor de»), conversa y contraria. Su ejemplo muestra el límite de la silogística: «si el caballo es un animal, la cabeza de un caballo es la cabeza de un animal» es válido y no es un silogismo.
Jevons (Pure Logic, 1864; The Principles of Science, 1874). Hace inclusiva la suma, con la ley de unidad \(A + A = A\), y elimina los términos sin interpretación. Basa la inferencia en la sustitución de semejantes. Enuncia como leyes fundamentales la de identidad, la de contradicción (\(Aa = 0\)) y la de dualidad (\(A = AB + Ab\)). Construye un «piano lógico» (1869), una máquina que resuelve mecánicamente problemas de hasta cuatro términos.
Schröder (Vorlesungen über die Algebra der Logik, 3 vols., 1890–1905). Toma como primitiva la subsunción (\(a \subseteq b\)) y construye el cálculo de clases, el proposicional y, en el tercer volumen, el de relativos de Peirce. Muestra que la distributividad no se sigue de los demás axiomas, contra lo que Peirce había supuesto. Sus Vorlesungen son la suma de la tradición.
Resultado moderno. Huntington (1904) axiomatiza el álgebra de Boole: conmutatividad, distributividad mutua de \(+\) y \(\cdot\), elementos neutros \(0\) y \(1\), y complemento con \(x + \bar{x} = 1\) y \(x\bar{x} = 0\). Stone (1936) probó que toda álgebra de Boole es isomorfa a un álgebra de conjuntos. La lógica proposicional clásica es, algebraicamente, la teoría de las álgebras de Boole.
La tradición recibe la silogística de Aristóteles, que Boole y De Morgan reconstruyen y amplían con métodos algebraicos. El detonante inmediato fue la disputa entre Hamilton y De Morgan sobre la cuantificación del predicado, que llevó a Boole a retomar la lógica en 1847. Leibniz había anticipado leyes del álgebra booleana en textos inéditos, pero esa es una afinidad: Peckhaus subraya que no influyó en su nacimiento.
La descendencia es amplia. Peirce parte de «una mejora del cálculo de Boole» (1867) y amplía el álgebra a los relativos. Peano toma de Boole, Schröder y Peirce las «operaciones de la lógica deductiva» de 1888. Löwenheim trabajó en el cálculo de relativos de Schröder, y su teorema de 1915 es uno de los primeros resultados de la lógica de primer orden. Keynes sigue y discute la lógica de la probabilidad de las Laws of Thought. La lógica cuántica, por último, sustituye el álgebra de Boole por un retículo ortocomplementado no distributivo.
El álgebra de la lógica surge en la Gran Bretaña de mediados del siglo XIX, en un momento de reflexión sobre el álgebra simbólica (Peacock, Gregory), que había separado las leyes de las operaciones de su interpretación numérica. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?» su aporte es decisivo. Al presentar la lógica como un álgebra, abre la posibilidad de estudiar álgebras distintas con leyes distintas: basta quitar la distributividad o la ley del complemento para obtener otra estructura, y de ahí salen la lógica cuántica y la semántica algebraica de las lógicas no clásicas. La unicidad de la lógica deja de ser evidente en cuanto se ve la lógica como una estructura entre otras.