| Autor(es) | Henry S. Leonard (1905–1967); Karel Lambert (n. 1928); Jaakko Hintikka (1929–2015) |
| Fecha / periodo | 1956–1967 · Siglo XX · Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica de primer orden clásica |
| Derivan de ella | Supervaluacionismo |
| Tres leyes | Identidad: matizado (\(t = t\) vale en la lógica libre positiva, falla en la negativa si \(t\) no denota) · No contradicción: ✓ · Tercio excluso: ✓ en las variantes bivalentes y en la supervaluacionista (matizado en las neutras con lagunas) |
La lógica clásica de primer orden supone dos cosas sobre las que no se pregunta: que el dominio no es vacío y que todo término singular denota un objeto de ese dominio. De ahí que \(\exists x (x = t)\) sea un teorema para cualquier término \(t\): la lógica garantiza que Pegaso existe si se admite el nombre «Pegaso». La lógica libre elimina esos presupuestos existenciales. Admite términos que no denotan y, en algunas variantes, dominios vacíos, y restringe las reglas de los cuantificadores para que la existencia se afirme o se niegue explícitamente. Su gesto distintivo es separar los términos singulares de los compromisos ontológicos: los cuantificadores recorren lo que existe, pero los nombres pueden no nombrar nada.
Lo que se pierde de la lógica clásica.
Predicado de existencia. Se introduce \(E!\), primitivo o definido como \(E!t := \exists x (x = t)\). Leonard (1956) fue el primero en tratarlo como predicado lógico; Lambert (1960) le dio esa definición.
Axiomas de la lógica libre positiva (formulación estándar de Lambert):
Reglas: modus ponens y generalización. De ellos se deriva la particularización restringida: \((A(t/x) \land E!t) \to \exists x A\).
Tres variantes semánticas, según el valor de las atómicas con términos vacíos:
Supervaluaciones (van Fraassen, «Singular Terms, Truth-Value Gaps and Free Logic», 1966). Para la variante neutra, se evalúa una fórmula con lagunas considerando todas las maneras clásicas de completar las lagunas. Es superverdadera si es verdadera en todas, superfalsa si es falsa en todas, y sin valor en otro caso. Resultado: se conserva toda la lógica libre (y \(A \lor \neg A\) es superverdadera), aunque haya fórmulas sin valor de verdad.
Lógicas inclusivas. Admiten el dominio vacío. Jaśkowski (1934) y Mostowski (1951) las estudiaron como precedentes; Quine («Quantification and the Empty Domain», 1954) dio un procedimiento de decisión para las fórmulas válidas en todo dominio, incluido el vacío. Las lógicas libres universales combinan dominio vacío y términos vacíos.
Metateoría. Las lógicas libres positivas y negativas son correctas y completas respecto de su semántica, por adaptación del método de Henkin. Las descripciones definidas se tratan con el axioma de Lambert: \(\forall y (y = \iota x A \leftrightarrow \forall x (A \leftrightarrow x = y))\).
Ejemplo. «Pegaso no existe»: \(\neg E!p\). En lógica clásica, \(\neg \exists x (x = p)\) es contradictoria. En lógica libre es consistente y puede ser verdadera. Además, de «todo existe» (\(\forall x E!x\)) no se sigue «Pegaso existe», porque la especificación exige la premisa \(E!p\).
La lógica libre es una corrección de la lógica clásica de primer orden en un punto preciso: el supuesto de que todo término singular denota en un dominio no vacío. Lo que se hereda es todo lo demás: la sintaxis, la semántica de modelos, el método de completitud. La motivación filosófica procede del análisis de la existencia (Russell, Quine) y de los problemas de los nombres vacíos y las descripciones. Leonard dio el primer sistema en 1956; Hintikka (1959) planteó la cuestión de los presupuestos existenciales y Lambert, que acuñó el nombre en 1960, la sistematizó durante las dos décadas siguientes.
De la lógica libre deriva el supervaluacionismo. Van Fraassen introdujo las supervaluaciones en 1966 precisamente como semántica de la lógica libre neutra; solo después se aplicaron a la vaguedad (Fine, 1975) y a los futuros contingentes.
La lógica libre se usa en filosofía del lenguaje (nombres vacíos, ficción), en metafísica (existencia contingente), en lógica modal de primer orden con dominios variables, en teoría de la computación (términos no definidos, funciones parciales) y en demostradores automáticos. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», plantea el problema de la neutralidad ontológica de la lógica. Si la lógica no debe decidir qué existe, la lógica clásica, que prueba que algo existe, no es neutral. La lógica libre es la respuesta que devuelve esa decisión a las teorías. No es un rival pleno de la lógica clásica, sino una generalización suya: coincide con ella cuando se añade que todo término denota.