| Autor(es) | Charles Sanders Peirce (1839–1914) |
| Fecha / periodo | 1867–c. 1910 · Siglo XIX · Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Silogística categórica o asertórica de Aristóteles · Gramática especulativa de los modistas (n.º 34) · Lógica de Port-Royal (n.º 49) · Diagramas lógicos (n.º 51) · Lógica trascendental (n.º 52) · Álgebra de la lógica |
| Derivan de ella | Lógica de primer orden clásica · Lógica de la investigación |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (la ilación \(x \prec x\) es la primera propiedad del signo de inclusión) · No contradicción: matizado (✓ en el álgebra y en los grafos; no se aplica a lo vago, CP 5.448) · Tercio excluso: matizado (✓ en el álgebra; no se aplica a lo general, y la lógica triádica de 1909 lo suspende con el valor «límite») |
Peirce trabajó durante medio siglo sobre un mismo problema: cómo representar con exactitud la forma de toda inferencia, no solo la del silogismo. Partió del álgebra de Boole, la extendió a las relaciones, que la silogística no podía expresar («A ama a B», «A da B a C»), y de ahí pasó a la cuantificación y a una notación diagramática. Su gesto distintivo es doble. Por un lado, trata la lógica como una parte de la semiótica: razonar es operar con signos, y la notación es un objeto de estudio en sí. Por otro, amplía la lógica más allá de la deducción, con la inducción y la abducción como formas de inferencia con reglas propias y distinta fuerza.
Álgebra de los relativos (1870–1883). En «Description of a Notation for the Logic of Relatives» (1870) Peirce introduce términos relativos de dos y tres correlatos, con operaciones de producto relativo (\(l s\): «amante de un siervo de…»), suma relativa, converso e inclusión. Distingue relativos monádicos, diádicos y triádicos, y sostiene que toda relación de mayor adicidad se reduce a triádicas, pero no las triádicas a diádicas (tesis de la reducción).
La ilación y el cálculo proposicional (1880, 1885). En «On the Algebra of Logic» (1880) toma como primitiva la relación de ilación o inclusión, que escribe con una «garra» y aquí notamos \(\prec\). Sus propiedades básicas son la reflexividad (\(x \prec x\)) y la transitividad. En «On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation» (American Journal of Mathematics 7, 1885) presenta la lógica proposicional de forma veritativo-funcional, con dos valores (v y f), y enuncia una serie de «iconos» que funcionan como esquemas de axiomas para la implicación, con el modus ponens como regla. Entre ellos figuran:
La negación se introduce aparte, mediante lo falso: de f se sigue cualquier proposición. Peirce propone además comprobar las fórmulas asignando v y f a las variables, un método de tablas de verdad en germen.
En un manuscrito de 1880 («A Boolian Algebra with One Constant», publicado póstumamente) mostró que todas las conectivas se definen a partir de una sola, la negación conjunta, anticipando a Sheffer (1913).
Cuantificación (1883–1885). Siguiendo a su alumno O. H. Mitchell (Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University, 1883), Peirce introduce en 1885 los cuantificadores \(\Sigma_i\) y \(\Pi_i\), sumas y productos sobre individuos, con índices ligados. Así, «todo el mundo ama a alguien» es \(\Pi_i \Sigma_j\, l_{ij}\) y difiere de \(\Sigma_j \Pi_i\, l_{ij}\). Separa una lógica de relativos «de primera intención», nuestro primer orden, de otra «de segunda intención» en la que se cuantifica sobre relaciones. Da además reglas para llevar las fórmulas a forma prenexa. La notación \(\Sigma/\Pi\) pasó a las Vorlesungen de Schröder y de ahí a Löwenheim.
Grafos existenciales (desde c. 1896). Sistema diagramático que Peirce llamó su chef d’œuvre. Se escribe sobre una «hoja de aserción»: yuxtaponer grafos es conjuntarlos, y un «corte» (un óvalo) los niega. En la parte alfa (proposicional) valen cinco reglas, donde un área es par o impar según el número de cortes que la rodean:
Con ellas, «si \(A\) entonces \(B\)» es un corte que contiene \(A\) y, dentro, otro corte con \(B\). Alfa equivale al cálculo proposicional clásico; la parte beta añade la «línea de identidad», que expresa existencia e identidad, y equivale a la lógica de primer orden con igualdad (Roberts, 1973; Zeman, 1964). La parte gamma, inacabada, introduce cortes rotos para la posibilidad, grafos sobre grafos y abstracción.
Lógica triádica (1909). En su Logic Notebook (febrero de 1909) Peirce define matrices con tres valores, V, F y L (límite), y operadores monádicos y diádicos entre ellos, algunos equivalentes a los de la lógica trivalente fuerte que más tarde se asocia a Łukasiewicz y Kleene. No llegó a publicarla.
Deducción, inducción, abducción. En «Deduction, Induction, and Hypothesis» (1878) obtiene las tres formas permutando un silogismo en Barbara:
En las Lecciones de Harvard (1903) la abducción recibe su forma canónica: «Se observa el hecho sorprendente \(C\); pero si \(A\) fuese verdad, \(C\) sería cosa corriente; luego hay razón para sospechar que \(A\) es verdad» (CP 5.189). La deducción es necesaria; la inducción, autocorrectora a largo plazo; la abducción, la única que introduce ideas nuevas.
Peirce recibe su punto de partida del álgebra de Boole, que en 1867 se propone «mejorar» y que después extiende a los relativos. De la silogística aristotélica toma el esquema de Barbara para derivar inducción e hipótesis permutando sus proposiciones. De la Lógica de Port-Royal hereda la discusión de comprensión y extensión, que reformula con su propia terminología. De Kant toma el proyecto de derivar las categorías de las formas del juicio, que su «nueva lista» de 1867 reelabora hasta reducirlas a tres. La tradición de los diagramas lógicos, en particular los de Venn, la amplía con signos de existencia y de disyunción antes de pasar a los grafos. Y el nombre «gramática especulativa» para la primera rama de su semiótica viene del tratado de Tomás de Erfurt, que Peirce leía como obra de Escoto.
Transmite sobre todo la cuantificación: a través de Schröder, su notación llega a Löwenheim y Skolem y a lo que se convertirá en la lógica de primer orden clásica. Dewey, que asistió a sus cursos en Johns Hopkins, lo reconoce como el primero en hacer de la investigación la fuente de la lógica. Hay además varias afinidades atribuidas por la historiografía. Deely presenta la semiótica de Poinsot como anticipación de la de Peirce. Putnam subraya el descubrimiento independiente de la cuantificación por Frege y por Peirce y sus alumnos. Fisch y Turquette leen la lógica triádica como anticipo de Łukasiewicz y Post. Hintikka ve en su lectura de los cuantificadores como jugadas de emisor e intérprete un precedente de la semántica de juegos.
Peirce trabajó casi siempre fuera de la universidad, y gran parte de su obra lógica quedó en manuscritos. Por eso su papel se reconoció tarde: durante décadas la historia de la lógica se contó como una línea de Frege a Russell. La investigación posterior, desde Putnam y los editores de los Writings, ha restituido una segunda línea, algebraica, que pasa por Peirce y Schröder y desemboca en la teoría de modelos. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», Peirce es un caso notable. En un mismo autor conviven la lógica clásica, una lógica trivalente, una lógica diagramática que no es lineal y una teoría de inferencias no deductivas. Y todo ello bajo la idea de que la lógica es una sola ciencia de los signos con varias ramas.