| Autor(es) | Jan Łukasiewicz (1878–1956); Emil L. Post (1897–1954); Alfred Tarski (1901–1983) |
| Fecha / periodo | 1920–1930 · Siglo XX · Europa (Polonia) y Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Silogística modal y teoría de la modalidad de Aristóteles · Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Derivan de ella | Lógica de Gödel–Dummett · Lógica cuántica · Lógicas trivalentes de Kleene y Bochvar · Lógica temporal · Lógica difusa · Lógica ezumezu y reflexión complementaria ibuanyidanda |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(p \to p\) toma siempre el valor 1 en las lógicas de Łukasiewicz) · No contradicción: matizado (\(\neg(p \land \neg p)\) no es tautología en Ł3, aunque \(p \land \neg p\) nunca toma el valor 1) · Tercio excluso: ✗ (\(p \lor \neg p\) vale \(\frac{1}{2}\) cuando \(p\) vale \(\frac{1}{2}\)) |
Łukasiewicz partió de un problema aristotélico. Si el enunciado «mañana habrá una batalla naval» es ya hoy verdadero o falso, el futuro parece estar determinado. Para evitar el fatalismo sin renunciar a la libertad, propuso que los enunciados sobre futuros contingentes no sean hoy ni verdaderos ni falsos, sino que tengan un tercer valor, «posible». La lógica trivalente de 1920 es la codificación de esa idea. Post, por su parte, llegó a las lógicas de muchos valores por una vía puramente matemática, generalizando el método de tablas de verdad. El gesto distintivo del campo es abandonar la bivalencia de forma sistemática, con matrices de valores precisas, y convertir la construcción de matrices en una técnica semántica general para definir y separar lógicas.
Lógica trivalente de Łukasiewicz, Ł3 (1920). Tiene los valores 1 (verdadero), 0 (falso) y \(\frac{1}{2}\) (posible), con 1 como único valor designado. Sus operaciones son:
Wajsberg (1931) axiomatizó Ł3 con modus ponens, sustitución y los axiomas:
Qué se pierde. No son tautologías \(p \lor \neg p\) ni \(\neg(p \land \neg p)\): ambas valen \(\frac{1}{2}\) cuando \(p\) vale \(\frac{1}{2}\). Tampoco lo es \((p \to (p \to q)) \to (p \to q)\), la contracción. Por eso el teorema de la deducción no vale en su forma clásica, sino debilitado: si \(\Gamma, A \vdash B\), entonces \(\Gamma \vdash A \to (A \to B)\). Se conservan \(p \to p\), la doble negación \(\neg\neg p \leftrightarrow p\) y las leyes de De Morgan.
Ejemplo trabajado. Sea \(p\) «mañana habrá una batalla naval», con valor \(\frac{1}{2}\). Entonces \(\neg p\) vale \(\frac{1}{2}\) y \(p \lor \neg p\) vale \(\frac{1}{2}\): no es verdadero hoy que habrá o no habrá batalla. Pero \(\Diamond p\) y \(\Diamond\neg p\) valen 1: ambas cosas son posibles.
Lógicas de Post (1921). En «Introduction to a General Theory of Elementary Propositions» (American Journal of Mathematics 43), Post prueba primero la completitud y la consistencia del cálculo proposicional de Principia con tablas de verdad. Después define sistemas de \(m\) valores \(t_1, \ldots, t_m\) con una negación cíclica, que lleva \(t_i\) a \(t_{i+1}\) y \(t_m\) a \(t_1\), y una disyunción que toma el valor mayor. Con esas dos conectivas cada sistema es funcionalmente completo: toda función de \(m\) valores es definible. Su motivación es combinatoria, no filosófica.
Lógicas de \(n\) valores y de infinitos valores (Łukasiewicz y Tarski, 1930). En «Untersuchungen über den Aussagenkalkül» se generalizan las operaciones de Ł3 a \(n\) valores (\(\{0, \frac{1}{n-1}, \ldots, 1\}\)), a los racionales y a todo el intervalo \([0,1]\). Se muestra que la lógica de infinitos valores coincide con la de los racionales y que es la intersección de las finitas. Łukasiewicz conjeturó una axiomatización, cuyo quinto axioma se mostró después redundante:
La completitud la probaron Rose y Rosser (1958) y, algebraicamente, Chang (1959), mediante las MV-álgebras.
Matrices lógicas. El artículo de 1930 fija el marco general. Una matriz es un álgebra de valores con un subconjunto de valores designados. Una fórmula es válida en la matriz si toma un valor designado en toda asignación. Lindenbaum mostró que toda lógica proposicional estructural tiene una matriz característica, aunque sea infinita. Esto convierte las matrices en un instrumento para definir lógicas, compararlas y probar la independencia de axiomas.
Łukasiewicz parte explícitamente del capítulo 9 de De interpretatione, donde Aristóteles discute si los enunciados sobre futuros contingentes son ya verdaderos o falsos. Lee ese capítulo como una restricción del principio de bivalencia y construye su tercer valor para darle forma. Post, en cambio, llega por el estudio del cálculo proposicional de Principia mediante tablas, que generaliza a más valores. Ambas vías son independientes.
Su descendencia es amplia. Gödel (1932) y Dummett usan matrices de valores finitos y numerables en la línea de Łukasiewicz y Tarski. Kleene y Bochvar aplican el mismo método de matrices trivalentes con otra lectura del tercer valor: indefinido en Kleene, sin sentido en Bochvar. Reichenbach (1944) amplía la trivalente para la mecánica cuántica. Prior declara su deuda con Łukasiewicz, incluida la trivalencia para los futuros contingentes. La lógica de infinitos valores es una de las lógicas básicas de la lógica difusa. Chimakonam presenta la lógica ezumezu como una variante trivalente frente a la bivalencia. Como afinidades, Fisch y Turquette mostraron que la lógica triádica de Peirce (1909) anticipa a Łukasiewicz y Post. Vasiliev ha sido leído como precursor. Ganeri ha presentado la doctrina jaina del syādvāda como un sistema polivalente, lectura moderna sin transmisión.
Łukasiewicz presentó su lógica como un acto de liberación intelectual, comparable a la geometría no euclídea. La escuela de Varsovia la convirtió en un campo de investigación. Su motivación filosófica original, sin embargo, recibió críticas: la lógica trivalente no valida \(p \lor \neg p\), pero tampoco \(\neg(p \land \neg p)\), que el propio Aristóteles mantenía, y su tratamiento de las modalidades resultó poco satisfactorio. Aun así, fue la primera ruptura sistemática con la bivalencia. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», las lógicas polivalentes son decisivas por dos razones. Una es que muestran que hay infinitas lógicas coherentes, una por cada matriz, y que la clásica es solo la bivalente. La otra es que el método de matrices ofrece un lenguaje común para compararlas. La pregunta deja de ser si hay alternativas y pasa a ser cuál conviene a cada fenómeno: indeterminación, vaguedad, falta de referencia.