| Autor(es) | Stanisław Leśniewski (1886–1939) |
| Fecha / periodo | 1916–1939 · Siglo XX · Polonia (escuela de Lvov-Varsovia) |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica inductiva de Mill (n.º 55) · Begriffsschrift y logicismo · Lógica fenomenológica · Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Derivan de ella | Semántica tarskiana · Lógicas subestructurales y cálculo de Lambek |
| Tres leyes | Identidad: matizado (\(p \leftrightarrow p\) en la Prototética; pero en la Ontología «\(A \,\varepsilon\, A\)» solo vale si \(A\) es un nombre singular no vacío) · No contradicción: ✓ (Prototética clásica y bivalente) · Tercio excluso: ✓ (Prototética clásica y bivalente) |
Leśniewski conoció en 1911 la paradoja de Russell, por el apéndice del libro de Łukasiewicz sobre el principio de contradicción en Aristóteles (1910), y dedicó años a resolverla. Llegó a la conclusión de que la paradoja nace de confundir dos sentidos de «clase». En sentido distributivo, una clase es una entidad abstracta distinta de sus miembros. En sentido colectivo, es un todo concreto formado por sus partes, como un montón. Si solo se admite el segundo, la paradoja desaparece. De ahí su programa: construir unos fundamentos de la matemática nominalistas, sin entidades abstractas y sin teoría de conjuntos, con un rigor formal extremo. Su gesto distintivo es tratar los sistemas como objetos concretos que crecen: series de inscripciones a las que se añaden tesis nuevas solo según directivas explícitas.
Los tres sistemas forman una jerarquía: la Prototética es la base, la Ontología se construye sobre ella y la Mereología sobre ambas.
Prototética (c. 1922–1923). Es una lógica proposicional ampliada con variables para proposiciones y para functores de cualquier categoría, y con cuantificadores sobre ellas. Puede tomarse como único primitivo la equivalencia (\(\leftrightarrow\)). Tarski, en su tesis doctoral («Sur le terme primitif de la Logistique», 1923), mostró que con la equivalencia y el cuantificador universal se definen las demás conectivas; por ejemplo, \(p \land q\) equivale a \(\forall f\,(p \leftrightarrow (f(p) \leftrightarrow f(q)))\). Entre sus tesis figura un principio de extensionalidad para functores proposicionales. Leśniewski y Sobociński buscaron axiomas únicos cada vez más breves. Es clásica y bivalente.
Ontología (c. 1919–1920). Es un cálculo de nombres con una sola constante primitiva, el functor \(\varepsilon\), de categoría «proposición a partir de dos nombres». «\(A \,\varepsilon\, b\)» se lee «\(A\) es \(b\)». Es verdadera si \(A\) es un nombre que designa exactamente un objeto y ese objeto está entre los designados por \(b\). Los nombres pueden ser singulares, generales o vacíos, en la misma categoría. El axioma único, en la formulación que suele atribuirse a 1920 (Sobociński halló después otras más breves), es:
\(\forall A\,\forall a\,[A \,\varepsilon\, a \leftrightarrow (\exists B\,(B \,\varepsilon\, A) \land \forall C\,\forall D\,(C \,\varepsilon\, A \land D \,\varepsilon\, A \to C \,\varepsilon\, D) \land \forall C\,(C \,\varepsilon\, A \to C \,\varepsilon\, a))]\)
Es decir, \(A\) es \(a\) si y solo si algo es \(A\), a lo sumo una cosa es \(A\) y todo lo que es \(A\) es \(a\). De él se definen la identidad (\(A = B\) si \(A \,\varepsilon\, B\) y \(B \,\varepsilon\, A\)), la existencia y la unicidad, y los functores de la silogística. Por ejemplo, «todo \(a\) es \(b\)» se define como \(\forall A\,(A \,\varepsilon\, a \to A \,\varepsilon\, b)\) junto con la condición de que \(a\) no sea vacío. Así la silogística tradicional aparece como un fragmento de la Ontología. La cuantificación sobre nombres no conlleva compromiso existencial. Por ejemplo, «\(\exists a\,\neg\exists A\,(A \,\varepsilon\, a)\)» es verdadera: hay un nombre vacío. Esto ha llevado a leer los cuantificadores de Leśniewski de forma sustitucional, aunque la cuestión se discute.
Mereología (1916). Es una teoría de la parte y el todo, publicada en «Podstawy ogólnej teoryi mnogości I» («Fundamentos de la teoría general de conjuntos», 1916). Con «parte» como primitivo, se exige que la relación sea asimétrica y transitiva. Se define «ingrediente» como «parte o idéntico» y la clase colectiva \(\mathrm{Kl}(a)\) como el objeto cuyos ingredientes tienen todos algún ingrediente en común con algún \(a\), y del que todo \(a\) es ingrediente. Los axiomas garantizan que, si \(a\) no es vacío, existe una única \(\mathrm{Kl}(a)\). En esta teoría no hay paradoja de Russell: la clase de los objetos que no son clases de sí mismos es simplemente el todo formado por ellos. La clase de un solo objeto es ese mismo objeto.
Directivas y definiciones. Cada sistema es una sucesión finita de tesis. Una tesis nueva se añade solo si resulta de las anteriores por una regla o es una definición bien formada según las directivas, que precisan con detalle las condiciones sobre variables, paréntesis y categorías. Las definiciones son tesis del sistema, no abreviaturas metalingüísticas. En la Prototética pueden ser creativas: permiten probar tesis sin términos definidos que antes no eran demostrables.
Categorías semánticas. Toda expresión pertenece a una categoría: proposición (\(s\)), nombre (\(n\)) o functor de una categoría a partir de otras, como \(\varepsilon\), de categoría \(s/nn\). Solo se forman expresiones con sentido combinando functores con argumentos de la categoría adecuada. Esta teoría sustituye a la jerarquía de tipos de Principia sin sus dificultades filosóficas.
Leśniewski recibe varias líneas. Sus primeros trabajos discuten la teoría de los nombres de Mill, con su distinción entre denotación y connotación, y su propia teoría conserva la idea de que los nombres generales denotan varios objetos, sin necesidad de una clase abstracta. Defendía la obra de Frege como modelo de rigor formal, por encima de la de Russell. Sus categorías semánticas proceden, como reconoce Tarski, de las categorías de significación de las Investigaciones lógicas de Husserl. Y la Mereología nace como respuesta a la paradoja de Russell y como alternativa a la teoría de clases de Principia.
Transmite sobre todo a través de dos discípulos. Tarski, su único doctorando, adoptó la teoría de las categorías semánticas en su estudio sobre el concepto de verdad (1933), donde también desempeña un papel la distinción entre lenguaje y metalenguaje. Ajdukiewicz, en «Die syntaktische Konnexität» (1935), convirtió las categorías semánticas en un cálculo de índices fraccionarios. De ahí nacen la gramática categorial y, por medio de Bar-Hillel y Lambek, el cálculo de Lambek, hoy leído como una lógica subestructural.
Leśniewski publicó poco y en un estilo difícil. Muchos de sus manuscritos se perdieron en el incendio de Varsovia de 1944, de modo que su obra se conoce en parte por reconstrucciones de sus alumnos, Sobociński, Słupecki y Lejewski. La Mereología, en cambio, se generalizó como teoría formal de la parte y el todo, y la ontología formal actual la usa ampliamente. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», Leśniewski ofrece una lógica clásica en lo proposicional, pero organizada de otra manera. Sustituye los tipos por categorías, las clases por todos concretos y la lógica de predicados por un cálculo de nombres que incluye a la silogística. Muestra que el mismo contenido puede formalizarse con compromisos ontológicos muy distintos. Por eso la elección de una lógica puede ser también una elección de ontología.