| Autor(es) | Ludwig Wittgenstein (1889–1951) |
| Fecha / periodo | 1921 · Siglo XX · Austria y Gran Bretaña |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Begriffsschrift y logicismo · Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Derivan de ella | Lógica inductiva y probabilidad lógica · Sintaxis lógica y principio de tolerancia · Lógica de orden superior y teoría simple de tipos |
| Tres leyes | Identidad: matizado (el signo «=» es eliminable; decir de una cosa que es idéntica a sí misma «no dice nada», 5.5303) · No contradicción: ✓ (\(\neg(p \land \neg p)\) es tautología, pero no una ley especial, 6.123) · Tercio excluso: ✓ (\(p \lor \neg p\) es tautología: no dice nada del mundo, 4.461) |
Frege y Russell concebían la lógica como la ciencia más general, con leyes que describen los rasgos más abstractos de la realidad. Wittgenstein se pregunta qué clase de verdad tienen esas leyes y responde que ninguna en ese sentido. Las proposiciones de la lógica son tautologías: verdaderas para cualquier distribución de valores de verdad de sus componentes y, por eso mismo, vacías. No dicen nada, pero muestran la forma lógica del lenguaje y del mundo. El gesto distintivo del Tractatus es convertir la lógica de un cuerpo de doctrina en una propiedad del simbolismo. Si la notación es perspicua, la validez de una inferencia «se ve» en la estructura de las proposiciones, sin necesidad de axiomas ni de reglas que la justifiquen.
El Tractatus no presenta un cálculo con axiomas. Ofrece una teoría de la proposición y un método de decisión, con estas piezas:
Funciones de verdad. «La proposición es una función de verdad de las proposiciones elementales» (5). Las proposiciones elementales son lógicamente independientes entre sí (4.211, 5.134). Las posibilidades de verdad de \(n\) proposiciones elementales son \(2^n\) (4.27–4.31). Una proposición queda determinada por las posibilidades en que es verdadera. Wittgenstein la escribe como un signo proposicional de tabla, por ejemplo «(VVFV)(p,q)» para \(p \to q\) (4.442, 5.101), y da la lista de las dieciséis funciones de dos variables (5.101).
Tautología y contradicción. En los casos extremos, la proposición es verdadera en todas las posibilidades (tautología) o en ninguna (contradicción) (4.46). Ambas «no tienen sentido» (sinnlos), porque no representan ningún estado de cosas, pero no son «absurdas» (unsinnig): forman parte del simbolismo, como el cero de la aritmética (4.461–4.4611). «No sé nada del tiempo cuando sé que llueve o no llueve» (4.461).
Consecuencia. \(q\) se sigue de \(p\) si los fundamentos de verdad de \(p\) son fundamentos de verdad de \(q\) (5.11–5.12), lo que equivale a que \(p \to q\) sea tautología. La relación de consecuencia se ve en la estructura de las proposiciones (5.13). Las «leyes de inferencia» que pretenden justificarla son superfluas y carecen de sentido (5.132).
Método de decisión. La tautologicidad se reconoce en el símbolo mismo (6.113). Wittgenstein describe un método gráfico, equivalente a las tablas de verdad, para decidirla en el cálculo proposicional (6.1203). Las demostraciones en lógica son solo un recurso mecánico para reconocer tautologías complicadas (6.1262).
El operador N. Toda proposición se obtiene aplicando sucesivamente a proposiciones elementales la operación \(N(\bar{\xi})\), la negación conjunta de todos los valores de la variable \(\bar{\xi}\) (5.5–5.502). \(N(p)\) es \(\neg p\) y \(N(p, q)\) es «ni \(p\) ni \(q\)». La forma general de la función de verdad es \([\bar{p}, \bar{\xi}, N(\bar{\xi})]\) (6). La generalidad se trata del mismo modo: si los valores de \(\xi\) son todos los valores de \(fx\), entonces \(N(\bar{\xi})\) equivale a \(\neg\exists x\, fx\) (5.52). Los cuantificadores son funciones de verdad de conjuntos, quizá infinitos, de proposiciones.
Las constantes lógicas no representan. «Mi pensamiento fundamental es que las “constantes lógicas” no representan nada» (4.0312). No hay objetos lógicos (5.4); lo prueba que \(\neg\neg p\) dice lo mismo que \(p\) (5.44).
Contra la teoría de tipos. Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo de función ya contiene el prototipo de su argumento. La paradoja de Russell queda así eliminada por la sintaxis y no requiere una teoría (3.33–3.333). El axioma de reducibilidad no es una proposición lógica, y si es verdadero lo es por casualidad (6.1232–6.1233).
Identidad. El signo «=» es prescindible en una notación en la que objetos distintos tengan signos distintos (5.53). «Decir de dos cosas que son idénticas es un absurdo, y decir de una que es idéntica a sí misma no dice nada» (5.5303).
Probabilidad lógica (5.15). Si \(V_r\) es el número de fundamentos de verdad de \(r\) y \(V_{rs}\) el de los fundamentos de verdad de \(s\) que lo son también de \(r\), entonces \(V_{rs} : V_r\) es la probabilidad que \(r\) da a \(s\). Por ejemplo, \(p\) da a \(p \lor q\) probabilidad 1 y a \(p \land q\) probabilidad \(\frac{1}{2}\).
Decir y mostrar. Lo que puede mostrarse no puede decirse (4.1212). La forma lógica, que la proposición comparte con la realidad, se muestra en ella pero no puede enunciarse sin salir de la lógica (4.12).
El Tractatus recibe sus problemas de Frege y de Russell. El prólogo reconoce la deuda con «las grandes obras de Frege» y los trabajos de Russell. De Frege toma la distinción entre función y argumento, la idea de que el sentido de una proposición son sus condiciones de verdad y el rechazo del psicologismo. Con Russell mantiene una discusión constante. Rechaza su teoría de tipos, su axioma de reducibilidad y su tesis de que las constantes lógicas representan objetos o formas lógicas conocidos por familiaridad. Las tablas de verdad aparecen en 1921 a la vez que en el trabajo de Post, sin contacto entre ambos.
Transmite en tres direcciones. Ramsey (1926) justificó la simplificación de los tipos ramificados en la teoría simple con la noción de tautología del Tractatus y la usó para defender un logicismo revisado. La probabilidad lógica de 5.15, con la noción de campo de juego (Spielraum) de una proposición, pasó a través de Waismann a la lógica inductiva de Carnap. Y la Sintaxis lógica del lenguaje de Carnap (1934) parte del Tractatus, pero rechaza su tesis de que la forma lógica no puede enunciarse: la sintaxis de un lenguaje puede formularse en un metalenguaje o en el propio lenguaje por aritmetización.
El Tractatus fue leído en el Círculo de Viena, que adoptó su tesis de que las verdades lógicas son tautologías como vía para un empirismo sin verdades sintéticas a priori. Ramsey fue su lector técnico más serio. El propio Wittgenstein abandonó después aspectos centrales, empezando por la independencia de las proposiciones elementales, que el problema de la exclusión de colores (6.3751) ya ponía en duda. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», el Tractatus es la versión más radical del monismo. Solo hay una lógica, porque la lógica no es una teoría sino la forma de todo simbolismo posible, y «la lógica debe cuidarse de sí misma» (5.473). A la vez, su idea de que las proposiciones lógicas no dicen nada abrió la vía a la tolerancia de Carnap. Si la lógica no describe el mundo, elegir entre lenguajes lógicos puede ser una cuestión de convención.