| Autor(es) | Giuseppe Peano (1858–1932) |
| Fecha / periodo | 1888–1908 · Siglo XIX · Italia |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Characteristica universalis y calculus ratiocinator (n.º 50) · Álgebra de la lógica |
| Derivan de ella | Teoría de tipos de Principia Mathematica |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(a \supset a\) y los axiomas de igualdad de 1889) · No contradicción: ✓ (\(a \cap -a = \Lambda\), fórmula del Formulario) · Tercio excluso: ✓ (\(a \cup -a = V\); lógica bivalente de clases y proposiciones) |
Peano no buscaba fundar la matemática en la lógica, sino escribirla con exactitud. Su problema era la ambigüedad del lenguaje natural en las definiciones y demostraciones, que a su juicio ocultaba errores y premisas no declaradas. La respuesta fue una ideografía: un pequeño repertorio de signos lógicos con los que cualquier proposición matemática pudiera expresarse sin palabras, de modo que las definiciones, los axiomas y la independencia de los axiomas se pudieran examinar a simple vista. Su gesto distintivo es la economía y la legibilidad de la notación, que fijó buena parte de los símbolos que todavía se usan.
Notación. Peano usa los mismos signos para la lógica de clases y la de proposiciones, siguiendo la interpretación dual del álgebra de Boole y Schröder:
Lógica. Las secciones de lógica de los Arithmetices principia (1889) y del Formulario reúnen propiedades de estas operaciones: idempotencia, conmutatividad, asociatividad, distributividad, silogismo (\(a \supset b \cdot b \supset c \supset a \supset c\)), importación y exportación, contraposición, leyes de De Morgan, \(a \cap -a = \Lambda\), \(a \cup -a = V\). Se trata de una lista de fórmulas verdaderas, no de un sistema deductivo con reglas explícitas. Peano usa implícitamente la sustitución y el modus ponens, y Frege le reprochó en su correspondencia (1896) que no distinguiera con rigor axiomas, reglas y definiciones.
Axiomas de la aritmética (1889). Con los primitivos «número» (\(N\)), «uno» (\(1\)), «sucesor» (\(a + 1\)) e «igual», Peano da cuatro axiomas sobre la igualdad y cinco aritméticos. En forma moderna, estos son:
Peano reconoce que Dedekind (1888) había llegado a un sistema equivalente. En 1891 probó la independencia de estos axiomas dando modelos que satisfacen todos menos uno. En el congreso de París de 1900, Padoa formuló un método paralelo para probar la independencia de los términos primitivos.
Definiciones. Peano distingue definiciones nominales (un signo nuevo igual a una expresión de signos anteriores), definiciones condicionales (válidas bajo una hipótesis) y definiciones por abstracción. Estas últimas introducen un objeto nuevo a partir de una relación de equivalencia, como la dirección de una recta a partir del paralelismo. Russell las sustituirá por clases de equivalencia.
El Formulario. Cinco ediciones (1895–1908) recogen, en la última, más de cuatro mil fórmulas de aritmética, álgebra, geometría y análisis, con referencias históricas. La última está escrita en latino sine flexione, la lengua auxiliar que Peano propuso en 1903. En la escuela colaboraron Burali-Forti, que publicó en 1897 la paradoja del mayor ordinal; Pieri, que axiomatizó la geometría con muy pocos primitivos; Padoa y Vailati.
Peano recibe dos herencias. Del álgebra de la lógica toma las operaciones: las «operaciones de la lógica deductiva» del Calcolo geometrico (1888) proceden expresamente de Boole, Schröder y Peirce, y conserva su lectura dual para clases y proposiciones. Del ideal leibniziano de una característica universal toma el propósito de una escritura simbólica exacta para toda la ciencia, que en el Formulario invoca explícitamente.
Su transmisión es sobre todo notacional y metódica, y pasa por Russell. Tras conocer a Peano en el congreso de filosofía de París (agosto de 1900), Russell estudió sus obras y adoptó su simbolismo. Los Principles of Mathematics (1903) y Principia Mathematica se escriben en una versión extendida de la notación de Peano, con sus puntos, su \(\supset\), su \(\epsilon\) y su \(\iota\). Añaden lo que a Peano le faltaba, sobre todo reglas de inferencia explícitas y un tratamiento de las relaciones, tomado en parte de Peirce y de Schröder.
Peano pertenece a la generación que convirtió la lógica en instrumento de la matemática. A diferencia de Frege, no tenía una tesis filosófica que demostrar sobre la naturaleza de la aritmética. Buscaba precisión, y su notación, más cercana a la escritura matemática habitual, se impuso sobre la de Frege. Su escuela tuvo peso en Italia hasta los años diez y luego declinó. Los axiomas que llevan su nombre siguen siendo la base de la aritmética formal. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», Peano ilustra una actitud distinta de la monista de Frege. La lógica aparece como un lenguaje y un repertorio de reglas útiles, justificado por su servicio a la matemática. Esa actitud pragmática y notacional prepara, de lejos, la idea de que puede haber varios lenguajes lógicos igualmente legítimos.