| Autor(es) | Gottlob Frege (1848–1925) |
| Fecha / periodo | 1879–1903 · Siglo XIX · Alemania |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Silogística categórica o asertórica de Aristóteles · Characteristica universalis y calculus ratiocinator (n.º 50) · Lógica trascendental (n.º 52) |
| Derivan de ella | Lógica fenomenológica · Teoría de tipos de Principia Mathematica · Sistemas de Leśniewski · Lógica del Tractatus · Deducción natural y cálculo de secuentes · Lógica de orden superior y teoría simple de tipos · Nueva retórica · Semántica de Montague · Lógica natural y lógica de términos |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (axioma 54 de la Begriffsschrift: \(c \equiv c\)) · No contradicción: ✓ (implícita en la bivalencia y en el axioma 28 de contraposición) · Tercio excluso: ✓ (bivalencia estricta; los conceptos deben tener límites nítidos, Grundgesetze II, §56) |
Frege quería saber de qué clase de verdad es la aritmética. Para averiguar si sus teoremas pueden probarse sin apelar a la intuición, necesitaba un lenguaje en el que ninguna premisa tácita pudiera colarse en las demostraciones. La Begriffsschrift (1879) es ese lenguaje. Su gesto decisivo es abandonar el análisis del juicio en sujeto y predicado y sustituirlo por el de función y argumento: «César conquistó la Galia» se analiza como un concepto aplicado a un objeto, y un concepto es una función cuyos valores son valores de verdad. Con ello aparece el cuantificador ligado a variables, y con él la posibilidad de expresar y controlar la generalidad múltiple, que la silogística no había podido dominar.
Lenguaje. La notación de 1879 es bidimensional. Una barra horizontal marca el contenido; la barra vertical del juicio lo afirma (\(\vdash A\)). El condicional, primitivo junto con la negación, se escribe como una rama; su lectura es la del condicional material: \(B \to A\) es falso solo si \(B\) es verdadero y \(A\) falso (§5). La generalidad se indica con una concavidad sobre la barra de contenido que liga una letra gótica, nuestro \(\forall x\). El existencial se define como \(\neg\forall x \neg\). Frege también cuantifica sobre funciones, de modo que su sistema es de orden superior.
Axiomas. La Begriffsschrift (§§13–22) contiene nueve proposiciones básicas, numeradas según su lugar en el libro:
Łukasiewicz mostró después que (8) se deriva de (1) y (2). Las proposiciones (1), (2), (8), (28), (31) y (41) dan un cálculo proposicional clásico completo; (52) y (54) rigen la identidad de contenido; (58) es la instanciación universal.
Reglas. La regla explícita es el modus ponens. Frege usa además, de forma más o menos declarada, la sustitución uniforme y una regla de generalización: si \(\vdash A \to \Phi(a)\) y \(a\) no figura en \(A\), entonces \(\vdash A \to \forall x\, \Phi(x)\). La tercera parte del libro define la herencia en una serie (el ancestral de una relación) y prueba con ella, en forma general, el principio de inducción matemática.
El logicismo. Los Grundlagen der Arithmetik (1884) sostienen, contra Kant, que la aritmética es analítica, y enuncian tres principios metódicos: separar lo lógico de lo psicológico, preguntar por el significado de las palabras solo en el contexto del enunciado, y no confundir concepto y objeto. Definen el número de un concepto \(F\) como la extensión del concepto «equinumérico con \(F\)». Usan el llamado principio de Hume: el número de los \(F\) es igual al número de los \(G\) si y solo si \(F\) y \(G\) están en correspondencia biunívoca.
Los Grundgesetze (1893, 1903). Reformulan el sistema con seis leyes básicas y reglas enumeradas con precisión. La ley básica V identifica los recorridos de valores (extensiones) de dos funciones cuando coinciden en todos los argumentos: \(\grave{\epsilon}f(\epsilon) = \grave{\alpha}g(\alpha) \leftrightarrow \forall x\,(f(x) = g(x))\). Russell le escribió el 16 de junio de 1902 que el concepto «extensión que no se pertenece a sí misma» lleva a contradicción en ese sistema. Frege lo reconoció en un apéndice al segundo volumen y propuso un remedio que después se mostró también inconsistente en dominios de más de un objeto. Mucho después se vio que la lógica de segundo orden con el principio de Hume, sin la ley V, es consistente si lo es la aritmética y basta para derivar los axiomas de Peano («teorema de Frege»; Wright, 1983; Boolos).
Sentido y referencia (1891–1892). «Función y concepto» (1891) hace de los valores de verdad objetos, lo Verdadero y lo Falso. «Sobre sentido y referencia» (1892) distingue la referencia de una expresión (su objeto o su valor de verdad) de su sentido (el modo de darse). Así explica por qué «el lucero de la mañana es el lucero de la tarde» es informativo. En contextos indirectos la referencia de una expresión es su sentido habitual.
Qué se gana y qué se pierde. Se gana la generalidad múltiple, la lógica de relaciones y un concepto de prueba enteramente explícito. Se pierde la lectura existencial de la silogística: «todo \(S\) es \(P\)» (\(\forall x\,(Sx \to Px)\)) ya no implica que haya algún \(S\), de modo que caen la subalternación y los modos que dependen de ella.
Frege se define primero por reacción contra la lógica aristotélica. Sustituye expresamente el análisis en sujeto y predicado por el de función y argumento, y sostiene que la distinción gramatical entre sujeto y predicado no tiene relevancia lógica (Begriffsschrift, §3). El prólogo sitúa la obra en el proyecto leibniziano de una característica universal, que Frege conocía a través de Trendelenburg. Los Grundlagen discuten a Kant: aceptan la aprioridad de la aritmética pero niegan, contra él, que sea sintética.
Su descendencia es amplia. Russell asume su logicismo y construye la teoría de tipos para evitar la paradoja que halló en su sistema. El prólogo del Tractatus reconoce su deuda con «las grandes obras de Frege», y Leśniewski lo defendía como modelo de rigor. Church sigue su jerarquía funcional en la lógica de orden superior. La composicionalidad y la distinción entre sentido y referencia llegan a Montague a través de Carnap y Church. Su reseña crítica de la Filosofía de la aritmética de Husserl (1894) se ha leído como causa del abandono del psicologismo por parte de Husserl, aunque ese alcance se discute. Varias corrientes nacen en oposición. Gentzen presenta la deducción natural frente a la formalización axiomática de Frege, Russell y Hilbert. Perelman, que escribió su tesis sobre Frege (1938), parte de la lógica formal para constatar sus límites ante los valores. Sommers combate el «dogma fregeano» de la forma lógica. Como afinidades, no herencias, se han señalado el condicional filoniano como versión antigua de la implicación material, el descubrimiento independiente de la cuantificación por Peirce y sus alumnos (Putnam, 1982) y la lectura, que sus propios autores juzgan forzada, de los axiomas de implicación como tipos de los combinadores K, S y C (Cardone y Hindley, 2009).
En vida Frege tuvo pocos lectores. Su notación bidimensional se juzgó incómoda, y la reseña de Schröder (1880) la consideró inferior al álgebra de Boole. Su influencia pasó sobre todo por Russell, Wittgenstein y Carnap, que fue su alumno en Jena. El siglo XX lo convirtió en fundador de la lógica moderna y de la filosofía analítica del lenguaje. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», Frege representa la posición monista más nítida. La lógica es una, universal, anterior a cualquier interpretación; sus leyes son «las leyes más generales del ser verdadero» y no admiten alternativa. Por eso su fracaso con la ley V resulta tan instructivo: la lógica universal más rigurosa de su tiempo era inconsistente, y las respuestas a ese hecho abrieron caminos divergentes.