| Autor(es) | Stephen C. Kleene (1909–1994); Dmitri A. Bochvar (1903–1990) |
| Fecha / periodo | 1938–1952 · Siglo XX · Estados Unidos y URSS |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógicas polivalentes |
| Derivan de ella | LP y dialeteísmo |
| Tres leyes | Identidad: matizado (\(A \vdash A\) vale, pero \(A \to A\) no es teorema de K3) · No contradicción: matizado (\(\neg(A \land \neg A)\) no es teorema, pero \(A \land \neg A\) sigue implicando cualquier cosa) · Tercio excluso: ✗ (\(A \lor \neg A\) no es teorema) |
Las lógicas trivalentes de Kleene y Bochvar dan al tercer valor un sentido distinto del de Łukasiewicz. No es «posible» ni «todavía no decidido», sino «indefinido» (Kleene) o «sin sentido» (Bochvar). El problema de partida es doble. Kleene necesitaba calcular con predicados definidos por funciones recursivas parciales, que pueden no dar resultado para ciertos argumentos. Bochvar buscaba un modo de tratar las oraciones paradójicas, como la de Russell, sin excluirlas de la sintaxis. El gesto común es admitir lagunas de valor de verdad y estudiar cómo se propagan por las conectivas.
Los valores son \(1\) (verdadero), \(u\) (indefinido; a veces \(\frac{1}{2}\)) y \(0\) (falso). En ambas lógicas el único valor designado es \(1\): una inferencia es válida si toda valoración que da \(1\) a las premisas da \(1\) a la conclusión.
Tablas fuertes de Kleene (K3). Kleene las introdujo en «On notation for ordinal numbers» (1938) y las expuso en Introduction to Metamathematics (1952, §64). La regla informal es: si los argumentos definidos bastan para fijar el resultado, se da ese resultado; si no, \(u\).
Son las tablas de Łukasiewicz salvo en un punto: para Łukasiewicz \(u \to u = 1\), y para Kleene \(u\). Esa diferencia basta para que K3 no tenga ninguna tautología: la valoración que asigna \(u\) a todas las variables asigna \(u\) a toda fórmula. En cambio K3 tiene inferencias válidas:
Tablas débiles (Kleene débil, Bochvar interno). Lo indefinido es contagioso: si algún argumento vale \(u\), el resultado vale \(u\). Así \(0 \land u = u\) y \(1 \lor u = u\). La idea es que una expresión con una parte sin sentido carece de sentido en su conjunto. Consecuencia característica: falla la adición, \(A \not\models A \lor B\), pues \(B\) puede valer \(u\).
Sistema de Bochvar (1938). En «Sobre un cálculo trivalente y su aplicación al análisis de las paradojas del cálculo funcional ampliado clásico» (Matematicheskii Sbornik), Bochvar distingue dos niveles:
Las conectivas externas se definen aplicando las clásicas a fórmulas asertadas, por ejemplo \(\mathbf{t}A \land \mathbf{t}B\). El fragmento externo reproduce la lógica clásica; el interno no tiene tautologías. Bochvar asigna a las oraciones paradójicas el valor «sin sentido», de modo que el argumento que lleva a la contradicción queda bloqueado en el nivel interno.
Variantes. Halldén (1949) usó las tablas débiles con los valores \(1\) y \(u\) designados; el resultado, llamado hoy Kleene débil paraconsistente, invalida la explosión. Designar \(1\) y \(u\) en las tablas fuertes da LP.
Teoría de la verdad de Kripke (1975). En «Outline of a Theory of Truth», Kripke construye la extensión del predicado de verdad por etapas, con las tablas fuertes: en cada etapa se añaden como verdaderas las oraciones que ya tienen valor \(1\). La monotonía de K3 garantiza un punto fijo. En él, el mentiroso queda sin valor, \(u\), y el predicado de verdad cumple \(T(\langle A \rangle)\) con el mismo valor que \(A\). El precio es que el lenguaje objeto no puede expresar «no es verdadero» en sentido excluyente.
Ejemplo. Sea \(A\): «el programa \(f\) termina con salida par». Si \(f\) no termina, \(A\) vale \(u\). Con tablas fuertes, \(A \lor B\) vale \(1\) si \(B\) vale \(1\): basta un disyunto que se sabe verdadero. Con tablas débiles, \(A \lor B\) vale \(u\): el cálculo de la disyunción «espera» a \(A\) y no termina.
Ambas lógicas reciben de Łukasiewicz el método: definir una lógica por una matriz finita de valores con un conjunto de valores designados. Lo que cambian es la lectura del tercer valor y, en consecuencia, las tablas. Łukasiewicz pensaba en los futuros contingentes; Kleene, en la computación parcial; Bochvar, en el sinsentido de las paradojas. Kleene llega por la teoría de la recursión, no por la tradición filosófica polaca, pero sus tablas se inscriben en el marco matricial que esa tradición había fijado.
Las tablas fuertes se transmitieron sobre todo por dos vías. La primera es Kripke (1975), que las convirtió en la herramienta estándar de las teorías de la verdad con lagunas. La segunda es LP: Priest conserva las mismas tablas y designa también el valor intermedio, leído ahora como «verdadero y falso». La relación con FDE es de parentesco técnico: K3 y LP son las dos extensiones de FDE que añaden, respectivamente, la explosión y el tercio excluso. Es una clasificación posterior, no una derivación histórica.
Las dos propuestas son de 1938 y se hicieron sin contacto entre sí: Kleene en la teoría de la computabilidad estadounidense, Bochvar en la escuela soviética. Tuvieron destinos distintos. Las tablas fuertes se usan en informática (evaluación de expresiones con valores nulos, semántica de programas), en lingüística (presuposición) y en las teorías de la verdad. Las tablas débiles resurgieron recientemente como lógicas de la «contaminación» del sinsentido. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», el caso es instructivo: una misma idea (hay un tercer valor) da lógicas distintas según qué signifique ese valor, y cada lectura está motivada por un dominio de aplicación diferente. La elección de las tablas no la dicta la lógica misma, sino el problema.