| Autor(es) | Kurt Gödel (1906–1978); Michael Dummett (1925–2011) |
| Fecha / periodo | 1932–1959 · Siglo XX · Europa (Austria, Reino Unido) |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica intuicionista · Lógicas polivalentes |
| Derivan de ella | Lógica difusa |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(A \to A\) es teorema) · No contradicción: ✓ (\(\neg(A \land \neg A)\) es teorema, como en la intuicionista) · Tercio excluso: ✗ (\(A \lor \neg A\) no es teorema; sí vale la forma débil \(\neg A \lor \neg\neg A\)) |
La lógica intuicionista parecía, en los años veinte, un sistema polivalente más, a la espera de su matriz. Gödel demostró en 1932 que no la tiene: ninguna matriz finita la caracteriza. Para probarlo construyó una sucesión de matrices finitas, cada vez más débiles, cuyo límite es una matriz infinita numerable. Dummett, en 1959, axiomatizó la lógica de ese límite. Resultó ser la lógica intuicionista más un solo esquema, \((A \to B) \lor (B \to A)\): dadas dos proposiciones, una implica siempre a la otra. El gesto distintivo es la linealidad. Los grados de verdad forman una cadena, y el intuicionismo, cuyos estados de conocimiento se ramifican, queda reducido a un conocimiento que crece en una sola línea.
Semántica de matrices. El conjunto de valores es \([0, 1]\) (o cualquier cadena con mínimo y máximo), con 1 como único valor designado:
La matriz \(G_n\) usa \(n\) valores; \(G_2\) es la clásica. La matriz infinita \(G_\omega\) usa una cadena numerable.
El argumento de Gödel (1932). Sean \(p_1, \dots, p_{n+1}\) variables. La disyunción de todas las equivalencias \(p_i \leftrightarrow p_j\), con \(i < j\), es válida en toda matriz de Heyting de \(n\) elementos, porque dos variables deben tomar el mismo valor. Pero no es teorema intuicionista. Luego ninguna matriz finita caracteriza la lógica intuicionista. De paso, las lógicas de las \(G_n\) forman una cadena infinita decreciente de lógicas entre la intuicionista y la clásica.
Axiomatización (Dummett, 1959). LC es el cálculo proposicional intuicionista más el esquema
con modus ponens como única regla. Dummett demostró que LC es completo respecto de \(G_\omega\) y, por tanto, respecto de \([0, 1]\).
Semántica de Kripke. LC es la lógica de los marcos de Kripke intuicionistas cuyo orden es lineal. Es decidible y tiene la propiedad del modelo finito.
Teoremas y fallos.
Extensiones. Toda extensión consistente de LC es, o LC mismo, o la lógica de alguna \(G_n\) (Dunn y Meyer, 1971). Las extensiones de LC forman, pues, una cadena de tipo \(\omega + 1\) ordenada al revés.
Primer orden y teoría de la prueba. La versión de primer orden, con el esquema \(\forall x (A \lor B(x)) \to A \lor \forall x B(x)\), la estudió Horn (1969). Avron (1991) dio un cálculo de hipersecuentes con eliminación del corte, en el que la regla de «comunicación» entre secuentes expresa la linealidad.
Lógica difusa. En la teoría de Hájek (1998), la lógica de Gödel G es la lógica de la t-norma del mínimo: la lógica básica BL más la idempotencia de la conjunción, \(A \to A \,\&\, A\).
LC es una extensión intermedia del cálculo que Heyting formalizó en 1930: comparte su lectura constructiva de las conectivas y su rechazo del tercio excluso, pero añade la linealidad. Su método procede de las lógicas polivalentes: Gödel usa matrices finitas al modo de Łukasiewicz, y Dummett estudia una matriz numerable siguiendo la teoría de matrices de Łukasiewicz y Tarski (1930). Así, una misma lógica sirve de puente entre las dos grandes rupturas con la lógica clásica de los años veinte, la constructiva y la polivalente.
Su descendiente más visible es la lógica difusa. Cuando Hájek sistematizó las lógicas de t-normas continuas, la de Gödel resultó ser una de las tres fundamentales, junto a la de Łukasiewicz y la de producto.
El artículo de Gödel tiene una página y cerró una línea de investigación. Abrió otra: el estudio de las lógicas intermedias, entre la intuicionista y la clásica, que son un continuo de cardinalidad \(2^{\aleph_0}\) (Jankov, 1968). Dummett llegó a LC desde su interés por la teoría del significado, que más tarde lo llevaría a defender el intuicionismo con argumentos semánticos. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», LC es un ejemplo neto de que entre dos lógicas rivales hay infinitas intermedias, cada una con su semántica y su interpretación. La alternativa no es binaria: es un retículo de lógicas.