| Autor(es) | Garrett Birkhoff (1911–1996); John von Neumann (1903–1957); Hans Reichenbach (1891–1953) |
| Fecha / periodo | 1936–1968 · Siglo XX · Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Álgebra de la lógica · Lógicas polivalentes |
| Derivan de ella | — |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(a \le a\) en el retículo) · No contradicción: ✓ (\(a \land a^\perp = 0\)) · Tercio excluso: matizado (\(a \lor a^\perp = 1\) vale, pero una disyunción verdadera no exige un disyunto verdadero; falla la distributividad; en Reichenbach, ✗ con un tercer valor) |
En la mecánica cuántica no todas las magnitudes pueden tener a la vez un valor definido: si se sabe la componente del espín en una dirección, la de otra dirección queda indeterminada. Birkhoff y von Neumann propusieron tomar esto como un hecho lógico. Las proposiciones experimentales sobre un sistema cuántico no forman un álgebra de Boole, sino el retículo de los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. En ese retículo la conjunción y la disyunción siguen existiendo, pero la ley distributiva falla. El gesto distintivo es derivar la lógica de la estructura matemática de una teoría física, y admitir, por tanto, que la lógica adecuada a un dominio puede no ser la clásica.
La propuesta de 1936 («The logic of quantum mechanics», Annals of Mathematics 37).
Ortorretículo. Estas operaciones cumplen:
Pero no la distributividad: en general \(a \land (b \lor c) \neq (a \land b) \lor (a \land c)\). Birkhoff y von Neumann propusieron sustituirla por la ley modular, que vale en dimensión finita.
Ley ortomodular (Husimi, 1937). En dimensión infinita la modularidad falla, pero vale:
Los retículos ortomodulares son hoy la estructura algebraica estándar de la lógica cuántica.
Ejemplo. Para una partícula de espín 1/2, sea \(p\) «el espín en \(x\) es \(+\)», \(q\) «el espín en \(z\) es \(+\)» y \(q^\perp\) «el espín en \(z\) es \(-\)». Entonces \(q \lor q^\perp = 1\) y \(p \land (q \lor q^\perp) = p\). Pero \(p \land q = 0\) y \(p \land q^\perp = 0\), porque ningún estado tiene a la vez espín definido en \(x\) y en \(z\). Luego \((p \land q) \lor (p \land q^\perp) = 0 \neq p\).
Implicación. El retículo no tiene un condicional con todas las propiedades clásicas. El más estudiado es el de Sasaki: \(a \to b = a^\perp \lor (a \land b)\), que cumple modus ponens (\(a \land (a \to b) \le b\)) pero no la ley de exportación.
Reichenbach (1944). En Philosophical Foundations of Quantum Mechanics propuso una lógica trivalente: verdadero, falso e indeterminado, este último para enunciados sobre magnitudes no medidas. Define tres negaciones (cíclica, diametral y completa) y varias implicaciones. Con ella el tercio excluso deja de ser válido para esos enunciados.
Resultados. El teorema de Gleason (1957) muestra que, en dimensión mayor o igual que 3, las medidas de probabilidad sobre este retículo son las dadas por operadores de densidad, lo que vincula la lógica con la regla de Born. El teorema de Kochen y Specker (1967) prueba que no hay homomorfismo del retículo en el álgebra de Boole de dos valores: no se pueden asignar valores clásicos a todas las proposiciones de forma consistente.
La lógica cuántica se define contra el álgebra de la lógica: sustituye el álgebra de Boole, que Boole había presentado como las leyes del pensamiento, por un retículo ortocomplementado no distributivo. El artículo de 1936 identifica la distributividad como «el eslabón más débil» del cálculo clásico. La vía de Reichenbach procede de las lógicas polivalentes: amplía la lógica trivalente de Łukasiewicz para dar a los enunciados sobre magnitudes no medidas el valor «indeterminado».
Como afinidad atribuida, Tomic (2020) ha usado el retículo de subespacios de Birkhoff y von Neumann para modelar la bilógica de Matte Blanco. No hay transmisión histórica entre ambas.
El artículo de 1936 tuvo poca repercusión durante dos décadas. Mackey (1957), Piron (1964) y la escuela de Ginebra lo convirtieron en un programa de axiomatización de la mecánica cuántica. Putnam, en «Is logic empirical?» (1968), le dio un giro filosófico: si la lógica cuántica es la verdadera lógica del mundo, las paradojas de la teoría desaparecen, y la lógica clásica resulta ser una teoría empírica refutada, como la geometría euclídea tras la relatividad. Dummett y otros replicaron, y el propio Putnam abandonó la tesis. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», es el caso canónico de revisión empírica: plantea si la elección de la lógica puede depender de la física y si puede haber una lógica local, propia de un dominio de la realidad.