99. Lógica difusa (fuzzy logic)

Idea central

La lógica difusa trata los predicados vagos («alto», «caliente», «cerca») asignando a los enunciados grados de verdad en el intervalo \([0,1]\) en lugar de solo verdadero o falso. Parte de «Fuzzy sets» de Lotfi Zadeh (1965), que introdujo conjuntos cuya función de pertenencia toma valores en \([0,1]\). Goguen («The logic of inexact concepts», 1969) propuso la primera lógica para esos conceptos. Conviene distinguir dos sentidos. En sentido amplio, la lógica difusa es un conjunto de técnicas de control y razonamiento aproximado, con reglas lingüísticas del tipo «si la temperatura es alta, abre mucho la válvula». En sentido estricto es una rama de la lógica matemática, consolidada por Petr Hájek en Metamathematics of Fuzzy Logic (1998): lógicas veritativo-funcionales con infinitos valores, con conectivas interpretadas por t-normas continuas y sus residuos. Su gesto distintivo es que la verdad admite grados y que la conjunción puede tener varias formas igualmente legítimas.

Principios, axiomas y reglas de inferencia

T-normas. Una t-norma es una operación \(* : [0,1]^2 \to [0,1]\) conmutativa, asociativa, monótona y con 1 como neutro. Interpreta la conjunción fuerte \(\&\). Las tres básicas son:

• Łukasiewicz: \(x * y = \max(0, x + y - 1)\).
• Gödel: \(x * y = \min(x, y)\).
• Producto: \(x * y = x \cdot y\).

Por el teorema de Mostert–Shields, toda t-norma continua es una suma ordinal de copias de estas tres.

Residuo. La implicación es el residuo de la t-norma: \(x \Rightarrow y = \max\{z : x * z \leq y\}\). Vale 1 si \(x \leq y\). En otro caso vale \(1 - x + y\) (Łukasiewicz), \(y\) (Gödel) o \(y/x\) (producto). La negación es \(\neg x := x \Rightarrow 0\): \(1 - x\) en Łukasiewicz; en Gödel y producto, 1 si \(x = 0\) y 0 en otro caso. El mínimo y el máximo son definibles: \(A \land B := A \,\&\, (A \to B)\), y \(A \lor B\) a partir de ellos.

Lógica básica BL (Hájek). Axiomas, con modus ponens como única regla:

• (A1) \((A \to B) \to ((B \to C) \to (A \to C))\)
• (A2) \((A \,\&\, B) \to A\)
• (A3) \((A \,\&\, B) \to (B \,\&\, A)\)
• (A4) \((A \,\&\, (A \to B)) \to (B \,\&\, (B \to A))\)
• (A5a) \((A \to (B \to C)) \to ((A \,\&\, B) \to C)\)
• (A5b) \(((A \,\&\, B) \to C) \to (A \to (B \to C))\)
• (A6) \(((A \to B) \to C) \to (((B \to A) \to C) \to C)\)
• (A7) \(\bot \to A\)

Las extensiones axiomáticas dan los casos básicos:

• Łukasiewicz: BL + \(\neg\neg A \to A\) (doble negación).
• Gödel: BL + \(A \to (A \,\&\, A)\) (idempotencia; coincide con la lógica de Gödel–Dummett LC).
• Producto: BL + \(\neg\neg C \to (((A \,\&\, C) \to (B \,\&\, C)) \to (A \to B))\) y \((A \land \neg A) \to \bot\).

Metateoremas.

• BL es completa respecto de las BL-álgebras (Hájek, 1998) y respecto de todas las t-normas continuas: una fórmula es teorema si vale 1 con toda t-norma continua (Cignoli, Esteva, Godo y Torrens, 2000).
• Łukasiewicz, Gödel y producto son completas respecto de su t-norma estándar. La completitud de Łukasiewicz se debe a Rose y Rosser (1958) y a Chang (1959), con las MV-álgebras.
• Las lógicas proposicionales son decidibles (coNP-completas). La lógica de Łukasiewicz de primer orden no es recursivamente axiomatizable respecto de la semántica estándar (Scarpellini, 1962).
• MTL (Esteva y Godo, 2001), la lógica de las t-normas continuas por la izquierda, generaliza BL.

Qué se pierde. El tercio excluso y, en Łukasiewicz, la idempotencia de la conjunción fuerte (\(A \,\&\, A \neq A\)) y la contracción. En Gödel y producto falla la doble negación.

Ejemplo. Si «Juan es alto» vale 0,7, en Łukasiewicz «no es alto» vale 0,3, «alto y no alto» (mínimo) vale 0,3 y «alto o no alto» vale 0,7. La conjunción fuerte «alto & alto» vale 0,4: repetir una premisa débil debilita la conclusión. Es la forma difusa de la paradoja del montón: cada paso pierde un poco de verdad.

Genealogía

La lógica difusa en sentido estricto recibe de las lógicas polivalentes la lógica de infinitos valores de Łukasiewicz y Tarski (1930), que resulta ser la lógica de la t-norma de Łukasiewicz. De la lógica de Gödel–Dummett recibe el segundo de sus casos básicos: la lógica de Gödel, cuyas matrices finitas (1932) y cuya versión infinita (Dummett, 1959) coinciden con la lógica de la t-norma del mínimo. La aportación de Hájek fue mostrar que ambas, con la del producto, son extensiones de una lógica común, BL, y que la familia entera es un objeto de estudio de la lógica matemática, con teoría de modelos, complejidad y aritmética propias.

Contexto y relevancia

Zadeh escribía como ingeniero de sistemas en Berkeley. La lógica difusa tuvo durante décadas más éxito técnico, en el control industrial japonés de los años ochenta, que aceptación entre los lógicos, que la consideraban poco rigurosa. La obra de Hájek y la escuela de Praga, Barcelona y Linz la integraron en la lógica matemática. Es la principal teoría formal de la vaguedad por grados, en competencia con el supervaluacionismo y el epistemicismo. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», muestra que incluso dentro de un mismo enfoque hay una familia continua de conjunciones posibles, todas coherentes, sin que la semántica decida entre ellas.

Fuentes

• Zadeh, L. A. «Fuzzy sets». Information and Control 8 (1965): 338–353.
• Hájek, P. Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer, 1998.
• Cintula, P., Hájek, P. y Noguera, C. (eds.). Handbook of Mathematical Fuzzy Logic. 2 vols. Londres: College Publications, 2011.
• Cintula, P., Fermüller, C. G. y Noguera, C. «Fuzzy Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy.

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