70. Lógica inductiva y probabilidad lógica

Idea central

La inducción no garantiza la conclusión, pero no por eso es irracional. El programa de la probabilidad lógica sostiene que entre la evidencia \(e\) y una hipótesis \(h\) hay una relación objetiva, tan lógica como la consecuencia deductiva, aunque de grado: \(e\) implica \(h\) «parcialmente». La deducción es el caso límite, con grado 1; la contradicción, el caso con grado 0. El gesto distintivo es tratar la probabilidad no como frecuencia de sucesos ni como creencia subjetiva, sino como propiedad de pares de proposiciones, determinada por su forma y por el lenguaje en que se expresan. Así la lógica inductiva sería una extensión de la deductiva, no una disciplina empírica.

Principios, axiomas y reglas de inferencia

Keynes (A Treatise on Probability, 1921).

• La probabilidad es una relación \(a/h\) entre una proposición \(a\) y un cuerpo de premisas \(h\) (parte I, cap. 1). No es propiedad de \(a\) sola: una misma proposición tiene probabilidades distintas según la evidencia.
• Las probabilidades no siempre son numéricas ni siempre comparables (cap. 3). Forman un orden parcial: algunas series de probabilidades no se cruzan. Solo en casos especiales se asigna un número.
• El conocimiento de la relación es intuitivo: se «percibe», al modo del realismo de Moore y Russell.
• El principio de indiferencia (cap. 4) asigna probabilidades iguales a alternativas sin razón para preferir ninguna; Keynes lo restringe a alternativas «indivisibles» para evitar las paradojas de Bertrand.
• La justificación de la inducción (parte III) requiere un supuesto sobre el mundo: el principio de variedad independiente limitada. Si los objetos tienen un número finito de cualidades generadoras, la acumulación de casos favorables puede elevar la probabilidad de una generalización, siempre que su probabilidad previa no sea nula.

Johnson (1932). En «Probability: the deductive and inductive problems» (Mind) formula el postulado de «suficiencia»: la probabilidad de que el siguiente individuo caiga en la categoría \(i\) depende solo del número de casos observados en \(i\) y del total. De ahí se sigue una familia de reglas de sucesión con un parámetro.

Carnap (Logical Foundations of Probability, 1950).

• Se fija un lenguaje \(\mathcal{L}_N\) con predicados monádicos y \(N\) constantes individuales.
• Una descripción de estado afirma o niega cada predicado de cada individuo. Una descripción de estructura es la disyunción de las descripciones de estado que difieren solo por una permutación de individuos.
• Una función de medida \(m\) asigna a cada descripción de estado un valor no negativo, con suma 1. La medida de una oración es la suma sobre las descripciones de estado en que es verdadera, su «rango» (Spielraum).
• La función de confirmación es \(c(h, e) = m(h \land e)/m(e)\), para \(m(e) > 0\). Cumple los axiomas de la probabilidad condicional: \(c(h, e) = 1\) si \(e \vdash h\); aditividad para \(h, h'\) incompatibles dado \(e\); \(c(h \land h', e) = c(h, e) \cdot c(h', e \land h)\).
• \(m^\dagger\) da el mismo peso a cada descripción de estado: no permite aprender de la experiencia. \(m^*\) da el mismo peso a cada descripción de estructura y lo reparte por igual dentro de ella: su \(c^*\) sí aprende de la experiencia.

El continuo (1952). Si \(e\) describe \(s\) individuos, de los que \(s_M\) tienen la propiedad \(M\), y hay \(k\) predicados-Q, la probabilidad de que el siguiente tenga \(M\) es

• \(c_\lambda(h_M, e) = (s_M + \lambda/k)/(s + \lambda)\), con \(0 \le \lambda \le \infty\).

Con \(\lambda = \infty\) se recupera \(c^\dagger\) (se ignora la evidencia); con \(\lambda = 0\), la regla puramente empírica \(s_M/s\); con \(\lambda = k\), \(c^*\). La elección de \(\lambda\) no la fija la lógica: Carnap la deja a consideraciones pragmáticas.

Ejemplo. Con dos predicados-Q (\(k = 2\)) y \(\lambda = 2\), tras observar 8 cuervos negros de 10, la probabilidad de que el siguiente sea negro es \((8 + 1)/(10 + 2) = 0{,}75\): la regla de sucesión de Laplace.

Resultados y límites. En un dominio infinito, con \(c^*\) o cualquier \(c_\lambda\), una ley universal «todos los \(F\) son \(G\)» recibe confirmación 0 sea cual sea la evidencia finita; Carnap respondió con la confirmación de «caso» (instance confirmation). Las funciones dependen del lenguaje elegido: cambiar los predicados primitivos cambia los valores. Goodman (1955) mostró con «verdul» (grue) que la regularidad sintáctica no basta para distinguir predicados proyectables. La lógica deductiva de fondo es la clásica; lo que se añade es una medida sobre ella, no nuevas reglas de inferencia.

Genealogía

Keynes recibe el problema de la inducción en la forma que le habían dado Bacon y Mill, y dedica la parte III del Treatise a analizar sus supuestos, de donde saca el principio de variedad independiente limitada. Del álgebra de la lógica toma el proyecto de Boole de tratar la probabilidad con el cálculo de clases de las Laws of Thought, y lo discute en detalle para corregir sus errores. La otra fuente es el Tractatus: en 5.15 Wittgenstein define la probabilidad que una proposición da a otra como cociente entre sus «fundamentos de verdad», y en 4.463 habla del Spielraum que una proposición deja a la realidad. Waismann (1930) desarrolló esa idea, y por esa vía llega al «rango» y a las funciones de medida de Carnap.

Como afinidad, no como herencia, Mahalanobis (1954) y Haldane (1957) leyeron el syādvāda jaina, con sus predicaciones condicionadas por el punto de vista, como anticipo del razonamiento probabilístico. Es una lectura de estadísticos del siglo XX; no hay transmisión histórica.

Contexto y relevancia

Keynes escribe en el Cambridge de Russell y Moore; Carnap, en el empirismo lógico exiliado en Chicago. Frente a ellos se alzaron el subjetivismo de Ramsey y De Finetti, que negaba que hubiera una única probabilidad lógica, y el frecuentismo de Reichenbach y von Mises. Popper negó que la inducción tuviera lógica alguna. El resultado del propio Carnap es instructivo para la pregunta «¿una lógica o muchas?»: el continuo \(\lambda\) ofrece infinitos métodos inductivos coherentes, y la lógica no elige entre ellos. La lógica inductiva aparece así como una familia de sistemas, no como uno, y su elección se desplaza a la pragmática, en consonancia con el principio de tolerancia del mismo Carnap.

Fuentes

• John Maynard Keynes, A Treatise on Probability, Londres, Macmillan, 1921.
• Rudolf Carnap, Logical Foundations of Probability, Chicago, University of Chicago Press, 1950; The Continuum of Inductive Methods, Chicago, University of Chicago Press, 1952.
• Sandy L. Zabell, «Carnap and the Logic of Inductive Inference», en D. Gabbay, S. Hartmann y J. Woods (eds.), Handbook of the History of Logic, vol. 10: Inductive Logic, Ámsterdam, Elsevier, 2011.
• James Hawthorne, «Inductive Logic», Stanford Encyclopedia of Philosophy.

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