| Autor(es) | Rudolf Carnap (1891–1970) |
| Fecha / periodo | 1934 · Siglo XX · Europa central (Círculo de Viena) |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica intuicionista · Lógica del Tractatus · Formalismo y programa de Hilbert |
| Derivan de ella | — |
| Tres leyes | Identidad: ✓ en los lenguajes I y II · No contradicción: ✓ en I y II; la única exigencia general es formular reglas precisas · Tercio excluso: matizado (vale en I para enunciados definidos y en II sin restricción; por tolerancia, puede adoptarse un lenguaje que lo excluya) |
Las disputas sobre la lógica correcta, entre logicistas, formalistas e intuicionistas, parecían a Carnap disputas sobre hechos donde no hay hechos. Su propuesta es que la lógica no describe el mundo ni el pensamiento: es la sintaxis de un lenguaje, la teoría de sus signos y de las reglas que los combinan y transforman. Hay tantas lógicas como formas de lenguaje posibles, y la pregunta «¿cuál es la verdadera?» se sustituye por «¿cuál conviene para tal fin?». El gesto distintivo es el principio de tolerancia: cualquiera puede construir su lógica como quiera, siempre que formule con precisión sus reglas. La filosofía, a su vez, queda reducida a la sintaxis lógica del lenguaje de la ciencia.
La sintaxis como teoría formal (Logische Syntax der Sprache, 1934, parte I). Un lenguaje se especifica por:
La sintaxis habla de los signos sin atender a su significado. Carnap muestra, usando la aritmetización de Gödel, que la sintaxis de un lenguaje puede formularse dentro de ese mismo lenguaje, si contiene la aritmética.
Lenguaje I (parte II). Es un lenguaje de la aritmética «definida»:
Carnap lo llama «constructivista» o «finitista»: se acerca a la aritmética recursiva primitiva y evita los cuantificadores no acotados que el intuicionismo discute.
Lenguaje II (parte III). Contiene al lenguaje I y añade cuantificadores no acotados y variables de tipos superiores según la teoría simple de tipos. Basta para la matemática clásica y la física.
Derivabilidad y consecuencia. Carnap distingue la derivabilidad (Ableitbarkeit), por un número finito de pasos, de la consecuencia (Folgerung), que admite reglas con infinitas premisas, como la regla ω: si \(P(0), P(1), P(2), \dots\), entonces \(\forall x\, P(x)\). Con la consecuencia define «analítico» (consecuencia de la clase vacía), «contradictorio» y «sintético». Así sortea la incompletitud de Gödel: toda oración lógico-matemática de II es analítica o contradictoria, aunque no toda sea decidible por derivación.
El principio de tolerancia (§ 17): «En lógica no hay moral. Cada cual es libre de construir su lógica, es decir, su forma de lenguaje, como quiera. Solo tiene que indicar claramente, si quiere discutir con nosotros, cómo quiere hacerlo, dar reglas sintácticas en lugar de consideraciones filosóficas».
Modo material y modo formal (parte V). Oraciones como «el cinco no es una cosa, sino un número» parecen hablar de objetos, pero son «pseudo-oraciones de objeto». Traducidas al modo formal dicen «“cinco” no es una palabra de cosa, sino una palabra de número». Muchas disputas filosóficas se disuelven con esa traducción, o se convierten en propuestas sobre qué lenguaje adoptar.
Ejemplo. El intuicionista y el clásico no discrepan sobre si \(\forall x (P(x) \lor \neg P(x))\) es verdadero. Uno propone un lenguaje sin esa regla; el otro, uno con ella. La pregunta pasa a ser cuál es más fecundo, sencillo o seguro para la matemática que se quiere hacer.
Carnap parte del Tractatus, del que toma la idea de que las verdades lógicas son tautologías sin contenido y de que la filosofía es aclaración. Pero rechaza su tesis de que la forma lógica se muestra y no puede decirse: la sintaxis de un lenguaje sí puede formularse, en un metalenguaje o incluso en el mismo lenguaje aritmetizado. De Hilbert toma la metamatemática, el estudio de los sistemas formales como objetos, y la generaliza de las teorías matemáticas a lenguajes cualesquiera, incluido el de la ciencia empírica. La tolerancia misma nace como propuesta para disolver la disputa entre la matemática clásica y la intuicionista: el lenguaje I recoge las exigencias constructivas, el II las clásicas, y ninguno es «el correcto».
El libro apareció en Viena en 1934, cuando Carnap enseñaba en Praga; la traducción inglesa (1937) lo difundió en el mundo anglófono. Poco después, bajo la influencia de Tarski, Carnap aceptó la semántica y amplió su enfoque más allá de la sintaxis. Quine criticó luego la distinción entre lo analítico y lo sintético en que se apoyaba el proyecto. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», este es el texto fundacional: suele leerse como la primera formulación explícita del pluralismo lógico. Su respuesta es que hay muchas lógicas porque hay muchos lenguajes, y que la elección entre ellas no es verdadera ni falsa, sino práctica. Toda discusión posterior sobre el pluralismo, de Beall y Restall a Shapiro, se sitúa respecto de esta tesis.