| Autor(es) | Alfred Tarski (1901–1983) |
| Fecha / periodo | 1933–1936 · Siglo XX · Polonia (escuela de Lvov-Varsovia) |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Sistemas de Leśniewski · Formalismo y programa de Hilbert |
| Derivan de ella | Semántica de Montague · LP y dialeteísmo · Lógica IF |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (la igualdad se interpreta como identidad en el dominio) · No contradicción: ✓ (teorema metalingüístico: ninguna oración es verdadera junto con su negación) · Tercio excluso: ✓ (teorema metalingüístico: de toda oración, o ella o su negación es verdadera) |
La noción de verdad había caído en descrédito entre los lógicos: la paradoja del mentiroso parecía mostrar que era incoherente. Tarski se propuso dar de ella una definición exacta para los lenguajes formalizados, sin paradojas y sin nociones semánticas primitivas. Su gesto distintivo tiene dos partes. Primero, fija un criterio de adecuación material, la convención T, que dice qué debe implicar cualquier definición correcta. Segundo, construye la definición en un metalenguaje más rico que el lenguaje objeto, a través de la noción de satisfacción de una fórmula por una secuencia de objetos. Con esos mismos recursos define después la consecuencia lógica, y la lógica pasa a tener, junto a la teoría de la prueba, una teoría de la verdad y de los modelos.
Convención T (Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, 1935, § 3). Una definición de «oración verdadera» para un lenguaje \(L\), formulada en un metalenguaje \(M\), es materialmente adecuada si implica todas las oraciones de la forma
donde \(p\) es la traducción al metalenguaje de una oración de \(L\) y \(x\) es un nombre de esa oración; y si implica además que solo las oraciones son verdaderas.
Satisfacción. Como las fórmulas con variables libres no son verdaderas ni falsas, Tarski define recursivamente cuándo una secuencia infinita de objetos \(s = \langle s_1, s_2, \dots \rangle\) satisface una fórmula:
Una oración (fórmula sin variables libres) es verdadera si la satisfacen todas las secuencias; es falsa si no la satisface ninguna. La definición es recursiva, pero puede convertirse en explícita en un metalenguaje de orden superior.
Metateoremas de la verdad. De la definición se siguen, en el metalenguaje, los principios que Tarski llama de contradicción (ninguna oración es verdadera junto con su negación) y de tercio excluso (de toda oración, ella o su negación es verdadera). Son versiones semánticas de las dos leyes clásicas, válidas para el lenguaje objeto.
Indefinibilidad. Si un lenguaje contiene la aritmética y puede nombrar sus propias oraciones, no puede contener un predicado \(V(x)\) que cumpla todos los casos de la convención T. Si lo hiciera, por el lema diagonal habría una oración \(\lambda\), con nombre \(n_\lambda\), equivalente a \(\neg V(n_\lambda)\), y la convención T daría \(V(n_\lambda) \leftrightarrow \neg V(n_\lambda)\). La verdad para \(L\) solo es definible en un metalenguaje de orden más alto; de ahí la jerarquía de lenguajes.
Consecuencia lógica («Über den Begriff der logischen Folgerung», 1936). Tarski rechaza identificar la consecuencia con la derivabilidad, porque la regla ω muestra que hay consecuencias intuitivas no derivables. Exige dos condiciones: que la consecuencia preserve la verdad necesariamente y que sea formal, es decir, que no dependa del significado de las constantes no lógicas. Define:
Tarski deja abierto el problema de qué constantes son lógicas. En una conferencia de 1966 (publicada en 1986) propuso como criterio la invariancia bajo permutaciones del dominio.
Ejemplo. «La nieve es blanca» es verdadera si y solo si la nieve es blanca: caso de la convención T, trivial en apariencia, pero es lo que toda definición debe implicar.
Tarski fue el único doctorando de Leśniewski, y en el estudio sobre la verdad adoptó su teoría de las categorías semánticas para clasificar las expresiones del lenguaje objeto y del metalenguaje. Del programa de Hilbert tomó el término y el proyecto de la metamatemática: estudiar los sistemas formales como objetos. Su innovación fue extenderlo a conceptos semánticos, como verdad, satisfacción, definibilidad y consecuencia, que Hilbert había dejado fuera.
Montague, discípulo suyo, llevó la semántica de modelos al lenguaje natural, que Tarski había considerado inabordable por ser «semánticamente cerrado». Dos corrientes reaccionan contra la jerarquía de lenguajes: el dialeteísmo de Priest, que acepta que el lenguaje natural contiene su propio predicado de verdad y que el mentiroso es verdadero y falso; y la lógica IF de Hintikka, presentada como capaz de definir su propia verdad. Como afinidades atribuidas: Dutilh Novaes analiza la consecuencia medieval con los dos criterios tarskianos; Boehner leyó la restrictio de Ockham como una jerarquía tarskiana, lectura que Spade rechaza; Scholz (1937) señaló que la deducibilidad de Bolzano anticipa la consecuencia de Tarski, y Tarski reconoció después la analogía.
La escuela de Lvov-Varsovia fue en los años treinta uno de los centros mundiales de la lógica. La monografía de Tarski, escrita en polaco, tuvo eco a partir de su traducción alemana y de su presentación en el congreso de París de 1935, donde convenció a Carnap y a Popper de que la semántica era legítima. De ella nacen la teoría de modelos, que Tarski desarrolló en Berkeley desde 1942, y la semántica formal en general. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?», la definición de consecuencia es central: si la consecuencia es preservación de la verdad en todos los modelos, cambiar la clase de modelos cambia la lógica. El pluralismo de Beall y Restall (2006) parte precisamente de una generalización del esquema tarskiano a distintos tipos de «casos».