| Autor(es) | Alan Ross Anderson (1925–1973); Nuel D. Belnap (1930–2024); J. Michael Dunn (1941–2021) |
| Fecha / periodo | 1962–1977 · Siglo XX · Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica relevante |
| Derivan de ella | — |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (\(A \vdash A\) vale, aunque FDE no tiene teoremas propios) · No contradicción: ✗ (\(\neg(A \land \neg A)\) no es válida: falla con el valor «ambos») · Tercio excluso: ✗ (\(A \lor \neg A\) no es válida: falla con el valor «ninguno») |
FDE es la lógica de las implicaciones de «primer grado», es decir, de los enunciados \(A \to B\) en los que ni \(A\) ni \(B\) contienen a su vez una implicación. Anderson y Belnap aislaron este fragmento de la lógica relevante porque en él se ve con toda claridad qué implicaciones clásicas rechaza la relevancia: la explosión (\(A \land \neg A \to B\)) y su dual (\(A \to B \lor \neg B\)). Dunn le dio después una semántica muy sencilla: cada enunciado puede ser verdadero, falso, ambas cosas o ninguna. Belnap la convirtió en una propuesta práctica: la lógica que debe usar un ordenador que recibe información de varias fuentes, incompleta y a veces contradictoria. El gesto distintivo es desacoplar verdad y falsedad: que \(A\) sea verdadera no dice nada sobre si también es falsa. Así la contradicción y el hueco quedan localizados y no contaminan el resto.
Lenguaje. \(\neg\), \(\land\), \(\lor\) y variables proposicionales. Los enunciados de FDE son implicaciones \(A \to B\) entre fórmulas de ese lenguaje, o equivalentemente secuentes \(A \vdash B\).
Axiomatización (Anderson y Belnap, «Tautological entailments», 1962; Entailment I, 1975, §15):
Las leyes de De Morgan se derivan. Una implicación de primer grado es válida si y solo si, puestas \(A\) en forma normal disyuntiva y \(B\) en forma normal conjuntiva, cada disyunto de \(A\) comparte un literal con cada conyunto de \(B\) («implicación tautológica»).
Semántica relacional (Dunn, tesis de 1966; «Intuitive semantics for first-degree entailments and “coupled trees”», 1976). Una valoración relaciona cada variable con \(1\), con \(0\), con ambos o con ninguno. Se extiende así:
Presentación de cuatro valores (Belnap, «A useful four-valued logic» y «How a computer should think», 1977). Valores \(\mathbf{t}\) (solo verdadero), \(\mathbf{f}\) (solo falso), \(\mathbf{b}\) (ambos) y \(\mathbf{n}\) (ninguno). Designados: \(\mathbf{t}\) y \(\mathbf{b}\).
Consecuencia. \(\Gamma \vDash A\) si toda valoración que hace designadas todas las premisas hace designada \(A\). Equivalentemente, preservación de la verdad hacia delante y de la falsedad hacia atrás.
Qué se pierde.
Qué se gana. Propiedad de relevancia: si \(A \vdash B\), entonces \(A\) y \(B\) comparten una variable. Ni la contradicción ni el hueco se propagan.
Extensiones. Prohibiendo \(\mathbf{b}\) se obtiene la lógica fuerte de Kleene K3; prohibiendo \(\mathbf{n}\), la LP de Priest; prohibiendo ambos, la lógica clásica. Hay una semántica alternativa con la «estrella» de Routley (1972).
Ejemplo (Belnap). Una base de datos recibe de un sensor «la válvula está abierta» y de otro «la válvula no está abierta». Asigna \(\mathbf{b}\) a \(p\). Si nadie dice nada de \(q\), \(q\) vale \(\mathbf{n}\). La base puede seguir respondiendo con sensatez sobre \(r\) sin deducir cualquier cosa de la contradicción en \(p\).
FDE procede de la lógica relevante: es el fragmento de primer grado común a los sistemas E (implicación estricta relevante) y R (implicación relevante) de Anderson y Belnap. Se estudió primero como una manera de comprobar que la relevancia tiene sentido en el nivel más simple, y la semántica de Dunn fue el primer paso hacia la semántica de los sistemas completos.
Las afinidades son lecturas, no herencias. Las lógicas trivalentes de Kleene (K3) y la LP de Priest son extensiones de FDE, pero K3 (1938) es anterior y surgió de la computabilidad: el parentesco es técnico, no histórico. Garfield y Priest («Mountains are just mountains», 2009) y Priest («The logic of the catuṣkoṭi», 2010) leyeron las cuatro posiciones del catuṣkoṭi budista (es, no es, ambas, ninguna) como los cuatro valores de FDE y añadieron un quinto valor para la negación de las cuatro en Nāgārjuna. Es una interpretación contemporánea discutida, no un dato sobre el origen de FDE.
FDE es hoy el sistema de referencia de las lógicas paraconsistentes y paracompletas: el «suelo» del que K3, LP y la lógica clásica se obtienen añadiendo restricciones. Se usa en bases de datos, en teoría de la verdad (Kripke, Field, Priest), en lógica de la información y en el estudio de la vaguedad. Para la pregunta «¿una lógica o muchas?» ocupa un lugar central en el pluralismo de Beall y Restall, que la tratan como una instancia de la noción general de consecuencia en la que se pierden tanto la explosión como el tercio excluso. Muestra con máxima simplicidad que ni la no contradicción ni el tercio excluso son necesarios para tener una consecuencia bien comportada.