| Autor(es) | George Boolos (1940–1996) |
| Fecha / periodo | 1984–1985 · Siglo XX · Estados Unidos |
| Tipo | Formal |
| Deriva de | Lógica de orden superior y teoría simple de tipos |
| Derivan de ella | — |
| Tres leyes | Identidad: ✓ (clásica; se añade la inclusión plural \(\prec\), no una identidad entre pluralidades) · No contradicción: ✓ (base clásica bivalente) · Tercio excluso: ✓ (vale también para fórmulas con variables plurales) |
La lógica plural toma en serio una forma de hablar que el castellano usa a diario: «hay unos críticos que solo se admiran entre sí». Quine había mostrado que oraciones de este tipo, como la de Geach y Kaplan, no pueden parafrasearse en primer orden y exigen cuantificar sobre conjuntos o clases. Boolos sostuvo lo contrario: el cuantificador plural «hay unos objetos \(xx\) tales que…» es un recurso lógico primitivo, tan inocente ontológicamente como el singular, que no introduce ninguna entidad nueva (un conjunto, una clase) sino que habla de muchas cosas a la vez. Su gesto distintivo es interpretar la lógica monádica de segundo orden sin conjuntos: la variable monádica \(X\) no recorre colecciones, sino que se lee como una variable plural. Así, la potencia expresiva del segundo orden se obtiene, según Boolos, sin «teoría de conjuntos disfrazada», contra el célebre dictamen de Quine.
La presentación estándar (Boolos 1984; Linnebo en la Stanford Encyclopedia; Oliver y Smiley 2013) usa un lenguaje de primer orden ampliado con:
Axiomas y reglas de la lógica plural básica (PFO, plural first-order logic):
Traducción de Boolos. Toda fórmula de la lógica monádica de segundo orden (MSO) se traduce a PFO: \(\exists X\, \varphi(X)\) se lee como \(\varphi^{\emptyset} \lor \exists xx\, \varphi^{*}(xx)\), donde \(\varphi^{*}\) sustituye \(Xy\) por \(y \prec xx\) y \(\varphi^{\emptyset}\) sustituye \(Xy\) por \(y \neq y\) (el disyunto inicial cubre el caso de la extensión vacía). La traducción preserva la validez: MSO y PFO son intertraducibles.
Ejemplo trabajado. La oración de Geach–Kaplan «algunos críticos solo se admiran entre sí» se formaliza como \(\exists xx\,[\forall x\,(x \prec xx \to Cx) \land \forall x \forall y\,((x \prec xx \land Axy) \to (y \prec xx \land x \neq y))]\). Kaplan probó que no equivale a ninguna fórmula de primer orden con los mismos predicados: con una interpretación aritmética adecuada de \(A\) (en términos de cero y sucesor) la oración es verdadera exactamente en los modelos no estándar de la aritmética, clase que ninguna fórmula de primer orden caracteriza.
Metateoría. Como hereda la semántica plena de segundo orden monádico:
Qué se gana. Con cuantificadores plurales se formulan esquemas como la inducción de la aritmética o el reemplazo de ZF en un solo axioma, sin compromiso con clases. Se evita la paradoja de Russell en el nivel de las clases: no hay una pluralidad de «todos los conjuntos» que tenga que ser a su vez un conjunto. Boolos también usó esta lectura en la defensa del logicismo fregeano sobre la base del principio de Hume.
La lógica plural procede de la lógica de orden superior: no inventa un nuevo cálculo, sino que reinterpreta el fragmento monádico de la lógica de segundo orden y la teoría simple de tipos. Donde Frege y Russell cuantificaban sobre conceptos o funciones proposicionales y Quine sobre conjuntos, Boolos lee la misma sintaxis como cuantificación plural. El resultado técnico (la equivalencia con MSO) está tomado tal cual de la tradición de orden superior; lo nuevo es la tesis filosófica sobre lo que esa sintaxis compromete.
Tiene precedentes reconocidos: la «clase como muchos» de Russell en The Principles of Mathematics (1903), el artículo de Max Black «The elusiveness of sets» (1971) y el trabajo de Peter Simons sobre plurales (1982). Después la desarrollaron Byeong-uk Yi, Thomas McKay (Plural Predication, 2006), Øystein Linnebo y Alex Oliver con Timothy Smiley (Plural Logic, 2013), que admiten plurales vacíos y términos plurales complejos.
El debate de fondo es el de Quine, para quien la lógica de segundo orden era «teoría de conjuntos con piel de oveja» y, por tanto, no era lógica. Boolos respondió en Journal of Philosophy (1984) y en «Nominalist Platonism» (Philosophical Review, 1985). La discusión ulterior (Resnik, Parsons, Linnebo, Rayo) gira sobre si los plurales son realmente neutrales ontológicamente y si permiten cuantificar sobre «absolutamente todo». Para la pregunta «¿una lógica o muchas?» el caso es instructivo: el mismo cálculo recibe interpretaciones filosóficamente opuestas, y la frontera entre lógica y matemática depende de qué cuantificadores se admitan como «lógicos». La lógica plural no rivaliza con la clásica en las leyes proposicionales; desplaza el límite de la lógica hacia arriba.